Açı-kenar Bağıntıları

• Açı-Kenar Bağıntıları

1 Bir üçgende ölçüsü büyük olan açının karşısındaki kenar uzunluğu, ölçüsü küçük olan açının karşısındaki kenar uzunluğundan daha büyüktür ABC üçgeninde m(A) > m(B) > m(C)
a > b > c
Terside geçerlidir Uzun kenarı gören açı kısa kenarı gören açıdan daha büyüktür
İkizkenar üçgenden de bildiğimiz gibi eşit açıların karşılarındaki kenarlar eşittir
m(B) = m(C) => |AB| = |AC|
m(A) < m(B) = m(C) ise
|BC| < |AB| = |AC| olur

• Bir üçgende bir tane geniş açı olabileceğinden geniş açının karşısındaki kenar daima en büyük kenar olur

2 Bir üçgende herhangi bir kenarın uzunluğu diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük farkının mutlak değerinden büyüktür ABC üçgeninde
lb - c l <a < (b + c) Diğer kenarlar için de aynı durum geçerlidir
|a – c| < b < (a + c) ve |a – b| < c < (a + b) olur
3 Dik, dar ve geniş açılı üçgenlerde kenarlar arasındaki ilişkiler a Bir dik üçgende
kenarlar arasında
a2 = b2 + c2 bağıntısı vardır
b Dar açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı küçültülürse a da küçülür
m(A) < 90° Û a2 < b2 + c3 c Geniş açılı üçgen b ve c sabit tutulup A açısı büyütülürse a da büyür
m(A) < 90° Û a2 > b2 + c3 4 Çeşitkenar bir üçgende aynı köşeden çizilen yükseklik, açıortay ve kenarortay uzunluklarının sıralanması, |AH| = ha ; yükseklik
|AN| = nA ; açıortay
|AD| = Va ; kenarortay

ha< nA <Va

5 Çeşitkenar bir üçgende, açı, açıortay, kenarortay ve yükseklik arasındaki sıralama;
ABC üçgeninde a, b, c kenar uzunluklarıdır
m(A) > m(B) > m(C) olduğuna varsayalım
Bu durumda üçgende
kenarlar : a > b > c
yükseklikler : ha < hb < hc
Açıortaylar : nA < nB < nC
Kenarortaylar : Va < Vb < Vc
şeklinde sıralanırlar Yani üçgenin yardımcı elemanları kenarlarının sırasına ters olarak sıralanır

• Eşkenar ve ikizkenar üçgen için bu sıralamalar geçerli değildir

6 Bir kenarları ortak olan içiçe iki üçgenden içtekinin çevresi daha küçük olur
|BD| + |DC| < |AB| + |AC|

• ABCD bir dörtgen, a, b, c, d kenar uzunlukları [AC] ve [BD] köşegenlerdir

ABCD dörtgeninde karşılıklı kenarların uzunlukları toplamı, köşegenlerin uzunlukları toplamından küçüktür

a + c < |AC| + |BD| ve b + d < |AC| + |BD|
köşegen uzunlukları toplamı çevreden daha büyük ve çevrenin yarısından daha küçük olamaz

• İç içe şekillerde içteki şeklin çevresi daha küçük olacağından

|DA| + |AB| + |BC|
toplamı |DE| + |EF| + |FC|
toplamından daha büyüktür

7 ABC üçgeninin içindeki herhangi bir P noktası için; |AP| + |BP| + |CP|
toplamı ABC üçgeninin çevresinden büyük, çevresinin yarısından küçük olamaz

• Burada ve Çevre değerleri sınır değer değildir