Gödel’in Eksiklik Teoremi

Gödel’in eksiklik teoremi

Gödel’in çağdaşı olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı
Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilirse, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyomlardan elde edebilecekti
Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilirse, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi

Ve Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
1 Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir
2 Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir
İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır