Kareköklü Sayilar

KAREKÖKLÜ SAYILAR

Rasyonel sayılar kümesi sayı ekseninde sık olmasına rağmen sayı eksenini tam dolduramamaktadır;çünkü sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel olmayan sayılar da vardır
Karesi 2 olan c doğal sayısını ele alalım

a2 = 2 ise a sayısını a = şeklinde gösterebilir ve ‘karekök iki ‘diye okuyabilirizAcaba bu
sayısı hangi sayılar arasındadır?Bunu inceleyelim:
12 =1 1=1
(1,5)2 = 1,5 1,5=225 tir
O halde sayısı;1< <1,5
Buna göre sayısı 1 ile 1,5 arasındadır,sayı doğrusu üzerinde görüntüsü olduğu halde rasyonel sayı değildir;çünkü iki tam sayının bölümü şeklinde yazılamaz
İşte sayı ekseni üzerinde görüntüsü olduğu halde,rasyonel olmayan , ,…gibi sayılara irrasyonel(rasyonel olmayan) sayılar denirI ile gösterilir
İrrasyonel sayılar kümesi ile rasyonel sayılar kümesinin birleşim kümesinin birleşim kümesine de reel (gerçek) sayılar denir

R=Q U I Q ∩ I =O
N  Q R I R

R+=Pozitif reel sayılar
R-=Negatif reel sayılar
R= R- U {0} U R+

Reel sayılar sayı eksenini tamamen doldururSayı doğrusunda her noktaya bir reel sayı karşı gelir,yani sayı doğrusu ile reel sayılar kümesi bire bir eşlenebilir

a bir pozitif reel sayı olmak üzere; = b ifadesine kareköklü ifade denir
a bir gerçek(reel) sayı ve m ,1 den büyük bir tamsayı ise sayısına ,a sayısının m inci kuvvetten kökü denirm sayısına da kökün derecesi denir

da, kök derecesi 2 dir
sayısının reel sayı olup olmama durumlarını inceleyelim:
m, pozitif tek tamsayı ve a R ise sayısı bir reel sayıdır
, , reel sayılardır

m,pozitif çift tamsayı ve a R+ ise sayısı bir reel sayıdır
, , reel sayılardır

m pozitif çift tamsayı ve a R- ise sayısı bir reel sayı değildir
, , reel sayılar değildir

NOT: , , sayıları reel sayı değildir ;çünkü hiçbir reel sayının karesi –1,-4 ve –9 değildir





25 48,4
2 2 =45 4 2=88
-4 5 -16 8
225 704
225 745 48 x 2=964
-704 4

4100 5856




KAREKÖK İÇİNDEKİ İFADENİN KÖK DIŞINA ÇIKARILMASI

Karekök içinde çarpım veya bölüm durumunda verilen ifadeler 2 veya 2 nin katı kuvvetinde yazılabilirse karekök dışına çıkarılabilirler

a R+ ,m Z ise 2m = a2m/2 = am
a,b R+ ve b ≠ 0 ise 2b2 = ab 2/b2 = a/b dir
a,b R+ ve n Z olmak üzere ; 2nb = an
Örnekler:

= 2 = 22/2 = 2

10 = 310/2 =35=243

4 /58 = 22/524 =72/54

a R için, 2 =

2 = = 2 = 3
KAREKÖKLÜ BİR SAYIYI a ŞEKLİNDE YAZMAK :
işleminin sonucu kaçtır?
48 2
24 2 = 2223
12 2 = 22
6 2 = 4
3 3
1

3 işleminin sonucu kaçtır?
504 2
252 2 3 =3 22327
126 2 = 323
63 3 = 18
21 3
7 7
1


UYARI:Karekök dışına çıkarılan sayılar kökün önünde bulunan sayı ile çarpılarak yazılır

KAREKÖK DIŞINDAKİ ÇARPANIN KÖK İÇİNE ALINMASI

Kareköklü bir sayının katsayısını kök içine almakiçin katsayının karesini kök içindeki sayı ile çarpar,kök içine yazarız
a = 2b
Örnek:
2 = 23 = =

RASYONEL SAYILARIN KAREKÖKÜ

a,b R+ olmak üzere ,
= /

Örnekler:

= / = 2/ 2 =

= = 2/ 62 =

= = 2/ 2 = =

UYARI:Tam sayılı olan kesirler birleşik kesire çevrilerek pay ve paydanın ayrı ayrı karekökleri alınır

ONDALIK SAYILARIN KAREKÖKÜ

Ondalık sayıların virgülden sonraki basamak sayıları çift ise tam karekökleri olabalir:
Örnek:
= =

= =

= = 5 /

NOT: sayısının karekökünü pratik olarak şöyle alırızVirgül yokmuş gibi kabul edersek, =2 dirOaha sonra virgülden sonraki her iki basamk için bir basamak sayıyı virgülle sağdan sola doğru ayırırız
=02

Örnek:
= =0,003


1 2 3

KAREKÖKLÜ SAYILARDA DÖRT İŞLEM

1)Toplama-Çıkarma
Kareköklü sayılarda toplama-çıkarma işlemi yapılırken karekök içindeki sayıların aynı olması veya aynı hale getirilmesi gerekirSonra ortak çarpan parantezine alınarak işlem yapılır

+ - = (a+b-c)
+

Örnekler:

- - + işleminin sonucu nedir?
- + =
=

- - + - işleminin sonucu nedir?
Kök içlerini aynı yapmaya çalışmalıyız
- + - = - + -
= + - -
= -

2)Çarpma
Körekök içinde verilen sayılar çarpılıp kök içine yazılırMümkünse kök dışına çıkarma işlemi yapılır

a,b R+ ise , = ; = 2 =a ve =

Örnekler:
- = =
- = = =
- =
=
= 6
=
Kareköklü sayının n kuvveti kök içindeki sayının n kuvvetidir
( )2 = 2 ( )n = an n (x >0)
Örnek:

( )4 = 4 = = 55 = 25


NOT: ( + ) ( - ) = ( )2 – ( )2 = a – b
Örnek:

( + ) ( - ) = ( )2 – ( )2 = 7-3 = 4




3)Bölme
Karekök içinde verilen sayılar bölünüp kök içine yazılırSadeleştirmeler yapılıp,mümkünse kök dışına çıkarılır
a,b R+ ve b 0 ise / = ve / = dır
Örnekler:

- / =
- : = = = /2
- / = =

PAYDAYI RASYONEL YAPMA

Bölüm şeklindeki kareköklü bir ifadede, paydayı karekökten kurtarmaya, paydayı rasyonel yapmak denirPaydayı kökten kurtarmak için ;pay ve paydayı ,paydanın eşleniği ile çarparız

nın eşleniği ve =a dır
( + ) nin eşleniği ( - ) ve ( + ) ( - ) = a – b dir
( - ) nin eşleniği ( + ) dir
( - b) nin eşleniği ( + b) dir
- nin eşleniği 2 + + 2 dir
+ nin eşleniği 2 - + 2 dir
nin eşleniği dir
m nin eşleniği n-m

1)Paydada varsa:
Pay ve paydayı ile çarparız

Örnekler:

- 1/ = 1 / = /2
- 5/ = 5 / = /10 = / 2

2)Paydada + varsa :
Pay ve paydayı - ile çarparız

Örnek:

5 5 (2 - )
=
( ) (2 - )

= 5 (2 - )
22 – ( )2

= 10 -

4 - 3

=10 - = 5(2 - )





BAZI KURALLAR:

1) n = an/m

2) = x , xm =a

3) =

4) : =

5) - + = (a – b + c)

6) a > 0, b > 0, c > 0 m,n,k pozitif tam sayıdır
2 b = an

7) =

8) = 2 bkc

9) =

10) =

11)( )n = a

12) ( )m = m

13) a R+ ise = n b

14) p = =

15) =x ise x= 1+
2

16) =a+1

17) k =