Euler Sayısı veya e Sayısı

e Sayısı veya Euler Sayısı
Vikipedi, özgür ansiklopedi

e sayısı veya Euler sayısı, matematik, doğal bilimler ve mühendislikte önemli yeri olan sabit bir reel sayıdır Bu sabit için birbirine eşdeğer pek çok tanım verilebilir; bunlardan bazıları aşağıda sıralanmıştır e sayısı aşkın bir sayıdır, dolayısıyla irrasyoneldir, ve tam değeri sonlu sayıda rakam kullanılarak yazılamaz Yaklaşık değeri şöyledir:

e1png (Bakınız: e'nin ilk 2 milyon basamağı)

e sayısı doğal logaritmanın tabanıdır

Tarih
e sabitine dolaylı olarak ilk değinen, İskoç matematikçi John Napier olmuştur Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır, fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da, sonuçta kabul edilen isim e olmuştur
Euler e sayısını, virgülden sonra 23 basamağına kadar hesaplayabilmiştir Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir e'nin irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır

Eşdeğer Tanımlar
560px-Hyperbola_Esvgpng

Beşinci tanıma göre, 1 < x < e için y = 1/x eğrisinin altındaki alan 1'e eşittir

1 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

e2png

2 e sayısı, aşağıdaki diferansiyel denklemi sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

e3png

Buradaki logex ifadesi, e tabanlı logaritmayı temsil etmektedir
3 e sayısı, aşağıdaki limite eşittir:

e4png

4 e sayısı, aşağıdaki sonsuz toplama eşittir:

e5png

Buradaki n! ifadesi, n faktöriyeli temsil etmektedir: n! = 1 × 2 × 3 × × n
5 e sayısı, aşağıdaki integral denklemini sağlayan yegâne pozitif reel sayıdır:

e6png

Uygulamalar

Birleşik Faiz Problemi
Jakob Bernoulli, e sabitini birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiştir Bu problem, basit bir örnekle anlatılabilir Elinde 1 lirası olan bir yatırımcı, parasını yılda %100 faiz veren bir bankaya yatırırsa, bir sene sonra 2 lirası olacaktır Diğer yandan, bu yıllık faiz, %50 – %50 şeklinde yılda iki kez işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/2)2 = 2,25 lira olacaktır Benzer şekilde, eğer faiz yılda dört kez %25 oranında işlerse, yatırımcının yıl sonundaki parası (1 + 1/4)4 = 2,4414 lira olacak, faiz her ay %8,333 oranında işlerse yıl sonundaki para (1 + 1/12)12 = 2,6130 lira olacaktır Faizin işleme süresini daha da kısaltırsak, her hafta işleyen faiz yıl sonunda 2,6925 lira, her gün işleyen faiz yıl sonunda 2,7145 lira verecektir
Faizin işleme süresi kısaldıkça, yıl sonundaki para 2 ve 3 arasında belli bir değere yakınsamaktadır Yukarıdaki 3 numaralı tanımdan da görüldüğü üzere, yakınsanan değer e sayısıdır

Bernoulli Denemeleri
e sayısı olasılık kuramında da çeşitli şekillerde karşımıza çıkar Örneğin bir kumarcı, kazanma şansı 1/n olan bir oyunu n kere oynarsa, yaklaşık 1/e (%36,787) ihtimalle hiçbir seferde kazanamayacaktır; n ne kadar büyükse, hiç kazanmama ihtimali 1/e'ye o kadar yakın olur
Kumarcının n seferde k kere kazanma olasılığı, binom dağılımına göre aşağıdaki değere eşittir:

e7png

Buna göre, n seferde k = 0 kere kazanma olasılığı, (1 - 1/n)n'dir, ve bu ifade, n büyüdükçe 1/e'ye yaklaşır

Şapka Problemi
Bir restorana giren ve girişte şapkalarını vestiyere bırakan n tane müşteri düşünelim Vestiyer, şapkalara etiket takmayı unutunca hangi şapkanın hangi müşteriye ait olduğunu unutuyor, ve çıkışta şapkasını isteyen her müşteriye rastgele bir şapka seçip veriyor Bu durumda, n müşteriden hiçbirinin kendi şapkasını almaması olasılığı, aşağıdaki toplama eşittir:

e8png

Müşteri sayısı n büyüdükçe, bu toplam 1/e değerine yaklaşacaktır