Tansör çözümlemesi,

TANSÖR ÇÖZÜMLEMESİ,

Tansör çözümlemesi,matematiğin,koordinat sisteminin değişmesinden etkilenmeksizin geçerli kalan bağıntı ya da kuralları konu edinen dalıBöyle bağlantılar eşdeğişkin ( kovaryant) bağıntı olarak adlandırılırTansör kavramı,matematiksel katmanlı uzayların incelenmesinde karşılaşılan geometrik cisimlere uygulanabilecek işlemleri belirli kurallara bağlamak amacıyla,vektör kavramı genişletilerek ortaya konmuştur



Bir vektörün,dik bileşenlerine ayrılması

Vektörler,hem büyüklüğü hem de doğrultusu,ve yönü olan niceliklerdirbir vektör,yönlü bir doğru parçası (ok)olarak betimlenebilirVektörler paralelkenar kuralı uyarınca birbirleriyle toplanıp birbirlerinden çıkarılabilirBir vektör,paralelkenar kuralı uyarınca bileşenlerine ayrılabilir;vektörün bileşenleri her koordinat sistemi için farklıdırKoordinat sistemi,değiştirildiğinde ,vektörün bileşenleri matematiksel bir dönüşüm kuralı uyarınca değişirParalelkenar kuralından çıkarılabilen bu dönüşüm kuralı uyarınca değişirParalelkenar kuralından çıkarılabilen bu dönüşüm kuralının iki önemli özelliği vardırBelirli bir koordinat sisteminden başlanır ve art arda bir dizi değişimden sonra ilk başlanan sisteme dönülürse,vektörün bileşenleri de başlangıçtaki değerlerini alırlarİkinci özellik şudur;
Vektörler arasındaki bağıntılar (örneğin,üç U,V,W vektörü arasındaki 2U + 5V =4W gibi bir bağıntı )koordinat sistemi no olursa olsun,bu vektörlerin bileşenleri için de geçerlidir

Kaynak:AnaBritannica cilt frmsinsinet için derlenmiştir

Bir vektör,n boyutlu uzayda n tane bileşeni bulunan ve bu bileşenler yukarıdaki özelliklere sahip bir dönüşüm kuralı uyarınca dönüşüme uğrayan bir büyüklük olarak göz önüne alınabilirAslında vektör,bileşenlerinden bağımsız ,nesnel bir varlıktırama herhangi bir koordinat sistemindeki bileşenleri aracılığıyla ele alınır

Tansör,belirli bileşenleri olan ve bu bileşenleri koordinat sistemi dönüşümleri altında belirli bir dönüşüm kuralı uyarınca değişime uğrayan bir nesnel varlık olarak tanımlanırbu dönüşüm kuralı vektör dönüşüm kuralının genelleştirilmiş biçimidir ve yukarıda belirtilen iki temel özelliği içermelidirGösterim kolaylığı sağlamak amacıyla koordinatlar,1"den n"ye kadar numaralanırtansörün bileşenleri de altindisler ve üstindisler eklenmiş bir harf ile gösterilirbu indislerin her biri 1"den n"ye kadar değişen değerler alabilirörneğin,bileşenleri Tc olan bir tansörün a,b ve c indislerinin her biri 1"den n"ye kadar değerler alabileceğinden n3 tane bileşeni vardırSkaler nicelikler ve vektörler ,tansörlerin özel durumlarıdırskaler niceliğin her koordinat sisteminde yalnızca bir bileşeni ,vektörün ise n tane bileşeni vardırTansörlerin bileşenleri arasındaki herhangi bir doğrusal bağıntı (örneğin 7abcd+2Sabcd - 3Tabcd=0) bir koordinat sisteminde geçerli ise,bütün koordinat sistemlerinde de geçerlidirbu nedenle böyle bir bağıntı nesnel ve koordinat sistemlerinden bağımsız bir bağıntıdır

İki tansör özel önem taşır,bunlar temel tansör ve eğrilik tansörüdürTemel tansörün uygulamaları arasında vektör bileşenlerinden vektörün büyüklüğünün bulunması da yer alırYalın bir örnek olarak iki boyutlu uzayda birbirine dik koordinat eskenleri göz önüne alalımÇizimde bi V vektörü ile bu vektörün V1 ve V2 bileşenleri görülmektedirOAP dik üçgenine Pythagoras teoremi uygulanarak V vektörün büyüklüğünün karesi

OP2= (V1)2 + ( V2)2

olarak bulunurTemel tansör bu eşitlikte yer almakta,ama 0 ve 1 katsayılarının yazılmamış olması nedeniyle hemen görülmemektedirAynı eşitliği

OP2=1(V1)2 + 0 V1V2 +0 V2V1+ 1(V2)2

biçiminde yazarsak,temel tansörün (1,0,0,1)bileşenleri ortaya çıkarYatık (birbirine dik olmayan) koordinatlar kullanıldığında ,OP2 değerini veren eşitlik

OP2_g11(V1)2+g12V1V2+g21V2V1+g22(V2)2

biçimine girerburada g11,g12,g21,g22,temel tansörün bileşenleridir


Kaynak:AnaBritannica cilt frmsinsinet için derlenmiştir

Temel tansör aracılığıyla,eğrilik tansörü olarak adlandırılan daha karmaşık bir tansör tanımlanabilireğrilik tansörü,ait olduğu n boyutlu uzayın eğriliği hakkında çeşitli bilgiler içerir

Tansörler geometri ve fizikte yaygın olarak kullanılırEinstein genel görelilik kuramını ortaya koyarken,fizik yasalarının hangi koordinat sistemi kullanılırsa kullanılsın aynı kalması gerektiğini öne sürmüştübu görüşten yola çıkarak bu yasaları tansör denklemleri biçiminde ifade ederÖzel görelilik kuramı uzay ile zamanın birbirlerinden ayrılamaz dört boyutlu bir uzay-zaman oluşturacak biçimde ilişkili olduğunu ortaya koymuştuEinstein,kütleçekiminin yalnızca dört boyutlu uzay-zamana ilişkin temel tansör cinsinden ifade edilmesi gerektiğini öne sürdüKütleçekiminin göreli yasasının ifadesi için uzay-zamandan elde edilen temel tansör ile eğrilik tansörü,göreli kütle çekimi yasasının ifadesi için iki yapıtaşı oluşturuyorduBunları kullanarak Einstein kütleçekimi yasasını bir tansör denklemi biçiminde ifade ettibu denklemde kütleçekimi bir kuvvet olarak değil,uzay-zamanının eğriliği biçiminde ortaya çıkıyordu

Tansör çözümlemesinin sistemli kuramını İtalyan Matematikçi Gregorio Ricci 1887-96 arasında ortaya koydubu kuramı Ricci"nin öğrencisi Tullio Levi-Civita daha da geliştirdiEinstein"ın genel görelilik kuramının büyük başarısı ,tansör çözümlemesine ve uygulamalarına karşı yoğun bir ilginin ortaya çıkmasına neden oldu



Kaynak:AnaBritannica cilt frmsinsinet için derlenmiştir