Evrensel Kümeler

Evrensel kümeler

A-TANIM

Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidirKümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir

Kümeyi oluşturan ögelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise,

a Î A biçiminde yazılır “a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır “b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur

Kümede, aynı eleman bir kez yazılır

Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez

A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir
B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ

Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir
1 Liste Yöntemi

Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır

A = {a, b, {a, b, c}} Ş s(A) = 3 tür
2 Ortak Özellik Yöntemi

Kümenin elemanları, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir

A = {x : (x in özelliği)}

Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur

Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir
3 Venn Şeması Yöntemi

Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile

gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak

gösterilir

Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

C EŞİT KÜME, DENK KÜME

Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir

A kümesi B kümesine eşit ise A = B,

C kümesi D kümesine denk ise C º D

biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D BOŞ KÜME

Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir

Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

{} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1 Alt Küme

A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir

A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B É A biçiminde gösterilir

C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir
2 Özalt Küme

Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir
3 Alt Kümenin Özellikleri

i) Her küme kendisinin alt kümesidir

A Ì A

ii) Boş küme her kümenin alt kümesidir

Æ Ì A

iii) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir

ıv) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir

v) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir

vı) n elemanlı bir kümenin r tane (n ³ r) elemanlı alt kümelerinin sayısı

F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1 Kümelerin Birleşimi

A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir

A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir

2 Birleşim Işleminin Özellikleri

i) A È Æ = A

ii) A È A = A

iii) A È B = B È A

ıv) A È (B È C) = (A È B) È C

v) A Ì B ise, A È B = B

vı) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir
3 Kümelerin Kesişimi

A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan

kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B

biçiminde gösterilir

A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir

4 Kesişim Işleminin Özellikleri

i) A Ç Æ = Æ

ii) A Ç A = A

iii) A Ç B = B Ç A

ıv) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)

v) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)

vı) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G EVRENSEL KÜME

Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir

H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ

Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve A ya da A' ile gösterilir

A = {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir

Tümleyenin Özellikleri

i) E = Æ

ii) Æ = E

iii) () = A

iv) A È A = E ve A Ç A = Æ dir

v) A È B = A Ç B

vı) A Ç B = A È B

vıı) E È A = E ve E Ç A = A dir

vııı) A Ì B ise, B Ì A dir

I KUVVET KÜMESI

Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir

s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir

J İKİ KÜMENİN FARKI

A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A B biçiminde gösterilir

A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir

Farkla Ilgili Özellikler

A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,

i) E – A = A

ii) A – B = A Ç B

iii) A – B = A È B dir

ıv) (A – B) È (B – A) = A D B (Simetrik Fark)

K ELEMAN SAYISI

A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,

i) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)

ii) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C)

– s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)

iii) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)

ıv) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:

s(T – V) + s(V – T) = a + c

Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a

Tenis oynamayanların sayısı:

s(T) = c + d

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

s(A Ç B) = s(A È B) + s(T – V) + s(V – T) = d + a + c

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

s(A È B) = d