Dini Testi

Matematikte Dini ve Dini-Lipschitz testleri, bir fonksiyonun Fourier serisinin bir noktada yakınsadığını kanıtlamak için kullanılabilen oldukça kesin testlerdir Bu testler,Ulisse Dini ve Rudolf Lipschitz'in arkasından isimlendirilmiştir

Tanım

f, [0,2π] üzerinde bir fonksiyon, t bir nokta ve δ, bir pozitif sayı olsun t 'deki yerel süreklilik modülüsü

ile tanımlanır f burada periyodik bir fonksiyondur; yani t = 0 ise ve ε negatifse, o zaman şöyle tanımlarız: f(ε) = f(2π + ε)

Global sürekliklilik modülüsü (veya basitçe süreklilik modülüsü) ise

ile tanımlanır Bu tanımlarla esas sonuçları ifade edebiliriz

Teeorem (Dini testi): Bir f fonksiyonu bir t noktasında

eşitsizliğini sağlasın O zaman, f 'nin Fourier serisi t 'de f(t) 'ye yakınsar
Örneğin, teorem ωf = log − 2(δ − 1) iken tutar ama log − 1(δ − 1) iken tutmaz
Teorem (Dini-Lipschitz testi): Bir f fonksiyonu

ifadesini sağlasın O zaman, f 'nin Fourier serisi düzgün bir şekilde f 'ye yakınsar
Özelde, Hölder sınıfında yer alan herhangi bir fonksiyon Dini-Lipschitz testini sağlar

Kesinlik

Her iki test de kendi türlerinin en iyisidir Dini-Lipschitz testi için, süreklilik modülüsü testini o yerine O ile sağlayan bir f fonksiyonu inşa etmek mümkündür; yani

olacak ve f 'nin serisi ıraksayacak şekilde Dini testi, kesinlik ifadesi ise biraz daha uzundur Şunu ifade eder:

olan herhangi bir Ω fonksiyonu için bir f fonksiyonu vardır öyle ki

ve f 'nin Fourier serisi 0'da ıraksar

kaynakça

Vikipedi