Asal Sayılar , OBEB ve OKEK

Asal Sayılar , OBEB ve OKEK

ASAL SAYILAR

Asal sayılar, 1 ve kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan 1′ den büyük tamsayılardır En küçük asal sayı, 2′ dir 2 asal sayısı dışında çift asal sayı yoktur Yani, 2 sayısı dışındaki tüm asal sayılar tek sayıdır Asal sayılar kümesi,
{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, … }
dir
Fermat Teoremi’ ne göre, n asal sayı olmak üzere, 2n – 1 şeklinde yazılabilen sayılar asal sayıdır Örneğin,
22 – 1, 23 – 1, 25 – 1, 27 – 1, 211 – 1, …
sayıları, asal sayıdır

Aralarında asal sayılar:

1′ den başka pozitif ortak böleni olmayan sayılara, aralarında asal sayılar adı verilir Birden fazla sayının aralarında asal olması için, bu sayıların asal sayı olması gerekmez Asal sayılar, kesinlikle aralarında asal sayılardır Bununla birlikte, 10 ve 81 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, aralarında asal sayılardır Diğer taraftan, 10 ile 8 sayısı birer asal sayı olmamasına rağmen, 2 ortak bölenleri olduğu için, aralarında asal sayılar değildir Bir sayı aralarında asal iki sayıya bölünebiliyorsa, bu iki sayının çarpımına da bölünür

Örneğin,
• 2, 9
• 10, 81
• 5, 29
• 3, 8
• 2, 10, 35

sayı grupları, ortak tam bölenleri olmadığı için aralarında asal sayılardır
Asal olmayan sayılara da bileşik sayı adı verilir Dolayısıyla, bileşik sayıların 1 ve kendisinden başka bölenleri vardır Örneğin, 10 sayısı bir bileşik sayıdır Çünkü, 10 sayısının 1 ve kendisinden başka, 2 ile 5 böleni vardır Buradan, asal olmayan 10 sayısı, birer asal sayı olan 2 sayısı ile 5 sayısının çarpımı olarak yazılabilir 2 ile 5 sayısına, 10 sayısının asal çarpanı veya böleni denir Yani, bileşik bir sayı, asal sayıların çarpımı şeklinde yazılabilir

Örnek 1:

Aşağıdaki sayı gruplarından hangisi aralarında asaldır?
a) 4, 20 b) 6, 21 c) 27, 36, 39 d) 8, 24, 36 e) 3, 5, 25
Çözüm:
a) 4 ile 20′ nin ortak böleni vardır ve bu da 2 ile 4′ tür
b) 6 ile 21′ in ortak böleni vardır ve bu da 3′ tür
c) 27, 36 ve 39′ un ortak böleni vardır ve ortak bölen 3′ tür
d) 8, 24 ve 36′ nın ortak böleni vardır ve ortak bölen 2 ve 4′ tür
e) 3, 5 ve 25′ in ortak böleni yoktur Çünkü, bu üç sayıyı birden bölen 1′ den başka sayı yoktur Dolayısıyla, bu sayılar aralarında asaldır



Örnek 2:

2m + 3 ile 7n – 5 sayıları aralarında asal olduğuna göre,
ise, m ve n kaçtır?
Çözüm:
2m + 3 ile 7n – 5 aralarında asal olduklarına göre,
2m + 3 = 5
2m = 5 – 3
2m = 2
m = 1
7n – 5 = 9
7n = 9 + 5
7n = 14
n = 2
bulunur

Örnek 3:

a, b ve c birbirinden farklı rakamlar olmak üzere, ab ile bc iki basamaklı aralarında asal sayılardır Buna göre, ab + bc toplamının en küçük değeri kaçtır?
Çözüm:
Toplamın en küçük olması için, sayıları en küçük almalıyız Buna göre, ab = 21 olurken bc = 13 olmalıdır Dolayısıyla,
ab + bc = 21 + 13 = 34
olur

Örnek 4:

2x + y ile 4 x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre,
ise, 3x + 2y toplamı kaçtır?
Çözüm:
2x + y ile 4x + y sayıları aralarında asal olduğuna göre, her ikisinin de ortak böleni olmaması gerektiğinden, eşitliğin sağ tarafı ortak bölenden arındırılmalıdır Dolayısıyla,
olur ve buradan,
2x + y = 7 … (1)
4x + y = 9 … (2)
yazılır Bu denklemleri ortak olarak çözelim Bunun için, (1) nolu denklemi – 1 ile çarpalım ve (1) nolu denklemle (2) nolu denklemi taraf tarafa toplayalım
- 1 / 2x + y = 7
4x + y = 9
- 2x – y = – 7
4x + y = 9
Son iki denklemin toplamı
2x = 2
x = 1
bulunur ve x = 1 değerini (1) nolu denklemde yerine koyalım
21 + y = 7
y = 7 – 2
y = 5
bulunur Buradan
3x + 2y = 31 + 25 = 3 +10 = 13
olur

SAYILARIN ASAL ÇARPANLARINA AYRILMASI

Her bileşik sayı, asal sayıların veya asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılabilir Bu işlemi yapmak için, ilgili sayının sırasıyla en küçük asal sayıdan başlanarak bölünebilmesi araştırılır

Örnek 1:

124 sayısını asal çarpanlarına ayıralım
Çözüm:
120 = 23 31 51

Örnek 2:

500 sayısını asal çarpanlarına ayıralım
Çözüm:
500 = 22 53

BİR SAYMA SAYISININ TAMSAYI BÖLENLERİ

Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am bn cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin sayısı,
( m + 1 ) ( n + 1 ) ( p + 1 )
dir Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir
Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am bn cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı,
2 ( m + 1 ) ( n + 1 ) ( p + 1 )
dir Yani, A sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katıdır Bu sayıya, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am bn cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin toplamı,
dir Bu toplama, 1 ile sayının kendisi dahil edilmiştir Bir sayma sayısının tüm tamsayı bölenlerinin toplamı ise, sıfırdır
Bir sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı:
Herhangi bir A sayma sayısının asal çarpanları a, b ve c olmak üzere,
A = am bn cp
şeklinde asal çarpanlarına ayrılmış ise, A sayma sayısının pozitif tamsayı bölenlerinin çarpımı,
dir Üssün, A nın pozitif tamsayı bölenlerinin sayısının yarısı olduğuna dikkat ediniz
Örnek 1:
120 sayısının
a) Kaç tane pozitif böleni vardır?
b) Kaç tane tamsayı böleni vardır?
c) Pozitif bölenlerinin toplamı kaçtır?
d) Pozitif bölenlerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm:
a) 120 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli
120 = 23 31 51
olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı
( 3 + 1) ( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 4 2 2 = 16
dır
b) 120 sayısının tüm bölenlerinin sayısı, pozitif bölenlerinin sayısının 2 katı olduğuna göre,
2 16 = 32
dir
c) 120 sayısının pozitif bölenlerinin toplamı
dir
d) 120 sayısının pozitif bölenlerinin çarpımı
dir
Örnek 2:
500 5y sayısının asal olmayan 40 tane tamsayı böleni varsa, y kaçtır?
Çözüm:
500 5y = 22 53 5y
= 22 53 + y
2 tane asal böleni olduğundan, tüm bölenlerinin sayısı,
40 + 2 = 42
dir Buradan, pozitif bölenlerinin sayısı, tüm bölenlerinin sayısının yarısı olduğundan,
21 = ( 2 + 1 ) ( 3 + x + 1 )
21 = 3 ( 4 + x )
21 = 12 + 3x
3x = 21 – 12
3x = 9
x = 3
olur

OBEB (ORTAK BÖLENLERİN EN BÜYÜĞÜ)
OBEB, iki veya daha çok sayıyı aynı anda bölebilen en büyük sayıdır Verilen sayıların OBEB’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarına ayrılır ve ortak asal çarpanların en küçük üsleri alınır
1 Aralarında asal iki sayının OBEB’ i 1′ dir Yani, a ile b aralarında asal iki sayı ise,
(a, b)OBEB = 1 dir
2 Aynı zamanda, ikiden çok sayıdaki sayılardan en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1′ dir Yani, a, b, c, d, e sayılarından a ile b aralarında asal ise,
(a, b, c, d, e)OBEB = 1 dir
3 İki veya daha fazla sayının ortak tam bölenlerinin sayısı, OBEB’ inin bölenlerinin sayısına eşittir
4 Ardışık iki sayma sayısının OBEB’ i 1′ dir Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,
(a , b)OKEK = 1 dir
Örnek 1:
18, 30, 42 sayılarının OBEB’ i kaçtır?
Çözüm:
1 Yol:
18, 30 ve 42 sayılarının üçünü birden bölen sayılar 2 ve 3 tür Dolayısıyla,
(18, 30, 42)OBEB = 2 3 = 6 dır
2 Yol:
18 = 232
30 = 235
42 = 237
Her üç sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır Dolayısıyla,
(18, 30, 42)OBEB = 23 = 6 dır
Örnek 2:
100 ile 120 sayılarının OBEB’ i kaçtır?
Çözüm:
1 Yol:
100 ile 120 sayısının ikisini birden bölen sayıları 22 ile 5 dir Dolayısıyla,
(100, 120)OBEB = 22 5 = 4 5 = 20 dir
2 Yol:
100 = 2252
120 = 2335
Her iki sayının ortak asal çarpanlarının en küçük üslüsü alınmalıdır Dolayısıyla,
(100, 120)OBEB = 225 = 20 dir
Örnek 3:
6, 15 ve 29 sayılarının OBEB’ i kaçtır?
Çözüm:
İkiden çok sayıdaki sayıların en az iki tanesi aralarında asal ise, bu sayıların OBEB’ i 1 olduğundan, verilen sayılardan 6 ile 29 sayısı veya 15 ile 29 sayısı aralarında asal olduğu için
(6, 15, 29)OBEB = 1
dir
Örnek 4:
100 ile 120 sayılarının ortak tam bölenlerinin sayısı kaçtır?
Çözüm:
(100, 120)OBEB = 2251 = 20
olduğundan, pozitif bölenlerinin sayısı,
( 2 + 1) ( 1 + 1 ) = 3 2 = 6
bulunur Buradan, tüm bölenlerin sayısı, pozitif bölenlerin sayısının iki katına eşit olduğundan,
2 6 = 12 olur
Örnek 5:
Boyutları 9 cm, 12 cm, 15 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en büyük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 9 cm, 12 cm, 15 cm sayılarının OBEB’ i bulunmalıdır Bu nedenle,
(9, 12, 15)OBEB = 3 tür Böylece, en büyük boyutlu küpün bir kenarı = 3 cm olur Bir kenarı 3 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 91215/333 = 345 = 60
tane olur
Örnek 6:
Boyutları 24 m ve 60 m olan dikdörtgen şeklindeki bir arsanın çevresine eşit aralıklarla en az sayıda kaç ağaç dikilebilir?
Çözüm:
İki ağacın arasındaki uzaklık, dikdörtgenin boyutlarının OBEB’ i olur Dolayısıyla,
(24, 60)OBEB = 12
Ağaç Sayısı = Çevre / 12 = 2 (24 + 60) / 12 = 84 / 6 = 14
dir
OKEK (ORTAK KATLARIN EN KÜÇÜĞÜ)
İki veya daha çok sayının her birine bölünen en küçük sayıdır Verilen iki veya daha çok sayının OKEK’ ini bulmak için, sayılar asal çarpanlarının kuvvetleri cinsinden yazılır ve ortak asal çarpanlarından üsleri en büyük olanlarla ortak olmayan asal çarpanlarının tümü alınarak çarpılır
1 Aralarında asal sayıların OKEK’ i, bu sayıların çarpımlarına eşittir Yani, a ile b sayısı aralarında asal sayılar ise,
(a, b)OKEK = a b dir
2 a ve b iki doğal sayı olmak üzere, bu iki doğal sayının OBEB’ i ile OKEK’ inin çarpımı, bu iki doğal sayının çarpımına eşittir Yani, a ve b doğal sayısı için
a b = (a, b)OKEK (a, b)OBEB dir
3 a, b, c, d sayma sayıları olmak üzere,
(a/c,b/d)OKEK = (a, b)OKEK / (c, d)OBEB dir
4 a ve b iki doğal sayı olmak üzere,
(a, b)OKEK = x ve (a, b)OBEB = y
ise, a ile b sayılarının toplamının en büyük değeri
x + y dir
5 Ardışık iki sayma sayısının OKEK’ i bu iki sayının çarpımına eşittir Yani, a ile b ardışık iki sayma sayısı olmak üzere,
(a, b)OKEK = a b dir
6 a ile b sayma sayıları olmak üzere, a < b ise,
(a, b)OBEB <= a <= b <= (a, b)OKEK dir
Örnek 1:
18 ile 45 sayılarının OKEK’ ini bulunuz
Çözüm:
1 Yol:
18 = 2 32
45 = 32 5
olduğundan, (18, 45)OKEK = 32 2 5 = 90 olur
2 Yol:
(18, 45)OKEK = 2 32 5 = 90 dır
Örnek 2:
a ve b doğal sayılarının OKEK’ i 48 ve OBEB’ i 8 ve bu sayılardan biri 16 ise, diğer sayı kaçtır?
Çözüm:
a = 16 olsun (16, b)OKEK = 48 ve (16, b)OBEB = 8 olduğuna göre,
a b = (a, b)OKEK (a, b)OBEB
16 b = 48 8
b = 24
bulunur
Örnek 3:
Herhangi iki doğal sayının OKEK’ i 120 ve OBEB’ i 8 olduğuna göre, bu sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözüm:
İki doğal sayının toplamı en çok bu iki sayının OBEB’ ile OKEK’ inin toplamı kadar olabileceğinden,
120 + 8 = 128 dir
Örnek 4:
Boyutları 2 cm, 4 cm, 6 cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki kutunun içerisi, boş yer kalmayacak şekilde en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istenmektedir Bu kutuya kaç tane küp yerleştirilebilir?
Çözüm:
Kutu en küçük boyutlu küplerle doldurulmak istendiğinden, 2 cm, 4 cm, 6 cm sayılarının OKEK’ i bulunmalıdır Bu nedenle,
(2, 4, 6)OKEK = 12 tür Böylece, en küçük boyutlu küpün bir kenarı = 12 cm olur Bir kenarı 12 cm olacak şekilde yerleştirilebilecek küp sayısı,
Küp sayısı = Kutunun hacmi / Küpün hacmi = 121212/246 = 632 = 36
tane olur
Örnek 5:
a, b, c asal sayılar olmak üzere,
x = a2 b3 c5 ve y = a5 c2
ise, (x, y)OBEB = ? ve (x, y)OKEK = ? bulunuz
Çözüm:
(x, y)OBEB = a2 c2 = (a c)2
(x, y)OKEK = a5 b3 c5 olur
Örnek 6:
Ayşe toplarını 2′ şer 2′ şer, 4′ er 4′ er, 6′ şar 6′ şar sayarsa, her defasında 1 top artıyor Ayşe’ nin en az kaç topu vardır?
Çözüm:
Top sayısı = (2, 4, 6)OKEK + 1 = 12 + 1 = 13 tür
Örnek 7:
2, 3, 4 sayılarına bölündüğünde 1 kalanını veren en büyük 2 basamaklı doğal sayı kaçtır?
Çözüm:
[(2, 3, 4)OKEK] k + 1 <= 99
24 k + 1 <= 99
k = 4 olur Buradan, sayı
24 4 + 1 = 96 + 1 = 97
bulunur
Örnek 8:
İki yangın sireni 5/7, 7/8 saat aralıklarla alarm vermektedirler Bu iki yangın sireni aynı anda en son Cuma günü sabah 0400′ de alarm verdiklerine göre, hangi gün saat kaçta tekrar birlikte alarm verirler?
Çözüm:
Yangın sirenleri 5/7, 7/8 sayılarının OKEK’ lerinde aynı anda alarm verirler Dolayısıyla,
(5/7, 7/8)OKEK = (5, 7)OKEK / (7, 8)OBEB = 35 / 1 = 35 saat
sonra tekrar alarm verirler O halde, Cumartesi günü saat 1500′ de tekrar alarm vereceklerdir
Örnek 9:
Bir a doğal sayısı 5/3, 6 sayılarına bölündüğünde sonuç tamsayı olduğuna göre, bu koşula uyan en küçük a sayısı kaçtır?
Çözüm:
5/3 ile 6′ nın OKEK’ ini bulmalıyız Bu takdirde,
(5/3, 6)OKEK = (5, 6)OKEK / (3, 1)OBEB = 30 / 1 = 30 olur
Örnek 10:
OKEK’ i 7 olan a ve b doğal sayılarının toplamlarının en küçük ve en büyük değerlerinin çarpımı kaç olur?
Çözüm:
(a, b)OKEK = 7 ve sayıların farklı olmadıkları söylenmediğine göre,
a = 7 ve b = 7
alınabilir Bu durumda, a ile b’ nin toplamının en büyük değeri
a + b = 7 + 7 = 14 … (1)
olur Diğer taraftan,
a = 1 ve b = 7 alınırsa, a ile b’ nin toplamının en küçük değeri
a + b = 1 +7 = 8 … (2)
olur Buradan, (1) ile (2) nin çarpımı
14 8 = 112
bulunur