Euler Özdeşliği Nedir?

Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler (bak Leonhard Euler) tarafından bulunan eşitlik
eo_1png

dır Burada,
[*]eo_2png, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,[*]eo_3png, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,[*]eo_4png, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder
Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır

Özdeşliğin Doğası
Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:

• 0 sayısı
• 1 sayısı
• Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
• Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (bak e sayısı ≈ 271828)
• Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı

Özdeşliğe İlişkin Düşünceler
Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir
Paul Nahin'in Dr Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır
Constance Reid, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür
Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır
19 yüzyılın ünlü matematikçilerinden Benjamin Peirce bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir:
"Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz"

Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir:
"Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor"

Çıkarımı
Euler_formulasvgpng
Euler özdeşliğinin rastgele bir açıya uygulanması

Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur Euler formülü her x
gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadıreo_5png
eo_6png

eşitliği sağlanıyorsa
eo_7png

ifadesi elde edilir Bunun nedeni
eo_8png

ve
eo_9png

eşitliklerinin sağlanmasıdır Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir
eo_10png

ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür
eo_11png

Genelleme
Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar
eo_12png

Atıf Sorunu
Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler (Durum böyleyse bu, Stigler adlandırma yasasına bir örnek oluşturabilir) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur