Permütasyon Ve Olasılık

PERMÜTASYON AMAÇ: Permütasyonla ilgili temel kavramları kullanabilme becerisi
Olasılık Amaç: Olasılık ve olasılıkla ilgili temel kavramlar bilgisi
Planlama: Permütasyon ve olasılık kavramı
1) Permütasyon
A) Genel çarpma özelliği
B) Permütasyon
1) ”n” elemanlı bir kümenin n’li permütasyonu
2) “n”elemanlı bir kümenin r’li permütasyonu
3) Dairesel permütasyon
2) Olasılık:
A) Olay ve olasılık tanımı
B) Ayrık iki olayın olasılığı (A veya B’nin olasılığı)
C) Aynı zamanda geçekleşen bağımsız iki olayın olasılığı(A ve B’nin olasılığı)

İşleniş
Permütasyon ( Büyük )
a) Saymanın Temel İlkesi ( Genel Çarpma Özelliği )
ÖR: Ahmet’in iki değişik pantolonu üç değişik renk gömleği vardırAhmet gömlek ile pantolonunu kaç değişik biçimde giyebilir
ÇÖZÜM: Ahmet’in değişik renk gömlekleri G1,G2,G3 ve pantolonları da P1,P2 olsun
Ahmet bu giysileri aşağıda gösterilen biçimlerde giyebilir
1 Giyinme => G1 P1
2 Giyinme => G1 P2
3 Giyinme => G2 P1
4 Giyinme => G2 P2
5 Giyinme => G3 P1
6 Giyinme => G3 P2 biçiminde giyebilir
Ahmet’in giyinişi 6 değişik biçimde olmaktadır Bunu kısaca,

Gömlek Pantolon
3 tane 2 tane
3 x 2 = 6 şeklinde buluruz

Ardışık iki işlemden biri, a değişik yoldan yapılabiliyor Bu yollardan herhangi biri kullanıldıktan sonra, ikinci bir işlem b değişik yoldan yapılabiliyorsa, ardışık iki işlem a x b değişik yoldan yapılabilir
Bu özelliğe “Saymanın Temel İlkesi “ yada “ Genel Çarpma Özelliği” denir

ÖR: A= ( 1,2,3,4,5 } kümesinin elemanları ile rakamları farklı üç basamaklı kaç çift sayı yazılabilir

Y O B

4 X 3 X 2 = 24 değişik çift sayı yazılabilir

ÖR: A= ( 0,2,3,4,5 } kümesinin elemanlarını kullanarak 5 ile bölünebilen kaç tane 3 basamaklı tek sayı vardır

Y O B

4 X 5 X 1 = 20 tane sayı yazılabilir

FAKTÖRİYEL

n C N olmak üzere,
123 _ _ _ _ _ n
çarpımına n faktöriyel denir ve

n! = n (n-1)(n-2)_ _ _ _ _ 321 biçiminde ifade edilir

0! = 1
1! = 1
n! = n(n-1)! Olarak tanımlanır

ÖR:

4! = 4321 = 24
5! = 54321 = 120
15! 151413!
13! 13! = 1514 = 210

4) 8!+9! 87!+987! 7! (8+98)
7! 7! 7!

8+72 = 80

4! ( n – 1 )!
n! = 6 => n = ?

4! ( n-1 )!
n! = 6 =>

( 4321 ) ( n-1)! = 6 n!

24 ( n-1)! = 6n ( n-1 )!

n 24 ( n-1 )! n = 4
6 ( n-1 )!

PERMÜTASYON

Bir kümenin elemanlarının belli bir sıraya göre dizilişlerinin her birine bir permütasyon denir

ÖR:

A = ( 1,2,3 } kümesinin permütasyonlarını yazalım
( 1,2,3 ) ( 2,3,1 )
( 1,3,2 ) ( 3,1,2 )
( 2,1,3 ) ( 3,2,1 )

n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı P(n,n) şeklinde gösterilirP(n,n) ifadesi, n’den 1’e kadar ardışık doğal sayıların çarpımıdır

Yani; P( n,n ) = n! ‘dir

ÖR: “Ahmet” kelimesinin harfleri ile, 5 harfli anlamlı yada anlamsız kaç kelime yazılabilir

P ( 5,5 ) = 5!
= 54321
= 120 bulunur

“n” Elemanlı Bir kümenin “r” li Permütasyonları

“n” ve “r” birer sayma sayısı ( n > r ) olmak üzere , n elemanlı bir kümenin elemanlarının r’li sıralanışına, “ n elemanlı kümenin r’li permütasyonu “ denirve
P ( n,r ) şeklinde gösterilir
P ( n,r ) permütasyonlarının sayısı,

P ( n,r ) = n! İfadesi ile bulunur
( n-r )!

Başka bir ifadeyle P ( n,r ) permütasyonlarının sayısını bulmak için, n’den geriye doğru, r tane ardışık çarpan çarpılır

ÖR:

1) P ( 5,2 ) 5! 543! = 20
( 5-2 )! 3!

2) P ( 7,3 ) 7! 7654! = 210
( 7-3 )! 4!

3) P ( 6,1 ) 6! 65! = 6
( 6-1 )! 5!

ÖR:

P ( 5,3 ) = 543 = 60
P ( 6,2 ) = 65432 = 720
P ( 7,4 ) = 7654 = 840

ÖR: 5 P( n,3 ) = 2 P( n+1,3 ) eşitliğinde n’nin değeri kaçtır?

ÇÖZÜM:

5n ( n-1 ) ( n-2 ) = 2( n+1 ) n ( n-1 )

5( n-2 ) = 2 ( n+1 )

5 n-10 = 2 n+2

5 n –2n = 2+10

3 n = 12

n = 4

Dönel (Dairesel ) Sıralama

“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir çemberin noktaları üzerinde birbirine göre farklı dizilişlerinden her birine,”dairesel permütasyon “ denir
“n” elemanlı bir kümenin elemanlarının, bir daire üzerinde değişik biçimde dairesel permü-
tasyonlarının sayısı,

( n-1 )! Tanedir

ÖR: 7 kişi, yuvarlak bir masanın etrafında kaç değişik şekilde oturabilir?

ÇÖZÜM:
Bir kişinin yeri sabit tutulursa;

Oturuş sayısı = ( 7-1 )!
= 6!
654321 = 720 bulunur

ÖR:

Bir okulda, 3 yönetici ile 5 öğretmen vardır Yöneticiler yan yana olmak üzere, 8 kişi yuvarlak bir masanın etrafına oturacaklardır Oturuş biçimi kaç farklı biçimde olabilir?

ÇÖZÜM:

Yöneticiler bir arada olacağı için, üç yöneticiyi bir kişi gibi kabul edelim
Bu duruma göre, yuvarlak masanın etrafına 1+5 = 6 kişi oturuyormuş gibi düşünebiliriz Ancak,3 yönetici de kendi aralarında 3! Kadar farklı biçimde otururlar

Buna göre, farklı oturuş biçimi,

3!( 6-1 )! = 6 120 =720 değişik biçimde olur

OLASILIK

Olasılık, rastlantı yada kesin olmayan olaylarla uğraşır Rastlantı; sonucu önceden bilinmeyen, gerçekleşmesi şansa bağlı olaylardır
Örneğin; bir parayı havaya attığımızda, yazı mı yoksa tura mı geleceğini deney yapmadan bilemeyiz

Bir deneyde çıkan sonuçların her birine “ olay “denir Yapılan bir deneyde, elde edile-
bilecek tüm çıkanların kümesine “örnek uzay”veya “ evrensel küme “ adı verilir Büyük “E”harfi ile gösterilir

Bir olay her zaman olabiliyorsa buna “kesin olay”; hiç gerçekleşmiyorsa buna da “imkansız olay” denir

Bir E örnek uzayının her elemanının elde edilme olasılığı eşit ise bu E örnek uzayına “eş olumlu örnek uzay “ denir

Eş olumlu örnek uzayına ait bir A olayının olasılığı P( A ) biçimde gösterilir

A C E olayı için,

P( A ) = s( A)
s( E ) dir

ÖR:

Bir zar atıldığında,üste gelen yüzünün asal sayı olma olasılığı nedir?
ÇÖZÜM:
Evrensel küme E = ( 1,2,3,4,5,6 }
Olay A = ( 2,3,5 } dir

A olayının olasılığı : P( A ) s( A ) 3 1
s( E ) 6 2
ÖZELLİKLER

Bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında bir sayıdır

0 < P( A ) < 1
P( A ) = 0 => böyle bir olaydan söz edilemez(İmkansız olay )
P( A ) = 1 => olasılık tamdır( Kesin olay )
Bir olayın olma olasılığı ile olmama olasılığının toplamı 1’e eşittir
P( A ) + P( A‘) = 1 dir

ÖR:
Bir torbada,aynı büyüklükte 3 kırmızı, 4 beyaz, 5 mavi bilye vardır Torbadan rasgele bir bilye çekiliyor Çekilen bilyenin beyaz olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Örnek uzayın eleman sayısı,

s( E ) = 3+4+5 = 12 dir

Beyaz bilye çekme olayı B olsun Torbada 4 tane beyaz bilye olduğundan,
s( B ) = 4 tür Buna göre;
P( B ) s( B ) 4 1
s( E ) 12 3 tür

ÖR:

Bir çift zar, aynı anda masanın üzerine atılıyor Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:

Evrensel kümenin eleman sayısı,

s( E ) = 6 x 6 = 36 dır

Üste gelen sayıların toplamının asal sayı olma durumları;
A = ( (1,1),( 1,2 ),( 2,1 ),( 1,4 ),( 4,1 ),( 1,6 ),( 6,1 ),( 2,3 ),( 3,2 ),( 2,5 ),( 5,2 ),( 3,4 ),( 4,3 ), ( 5,6 ),( 6,5 )}

P( A ) s( A) 15 5
s(E) 36 12 dir

AYRIK İKİ OLAYIN BİRLEŞMELERİNİN ( A VEYA B OLAYININ ) OLASILIĞI

Ayrık olayların birleşimlerinin olasılığı, bu olayların olasılıkları toplamına eşittir
A n B = O =>
P ( A U B ) = P ( A ) + P( B ) dir

ÖR:

Bir torbaya aynı büyüklükte 2 kırmızı, 3 sarı,4 mavi bilye konuluyor Torbadan rasgele bir bilye çekilirse,çıkan bilyenin kırmızı veya mavi olma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM: Evrensel küme,

E = ( k1,k2,s1,s2,s3,m1,m2,m3,m4 }ve s( E ) = 9 dur
Kırmızı bilyeler = A = ( k1,k2 }
Mavi bilyeler = B = ( m1,m2,m3,m4 }
A n B = O dir Buna göre,
P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) yazılır
P ( A U B ) = 2 4 6 2
9 9 9 3 bulunur

AYRIK OLMAYAN İKİ OLAYIN BİRLEŞİMLERİNİN (A VEYA B OLAYININ )
OLASILIĞI

Ayrık olmayan iki olayın birleşimlerinin olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıkları toplamından kesişimlerinin olasılığının farkına eşittir

A n B = O => ,

P ( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A n B ) dir

ÖR:

Bir torbaya 1’den 9’a kadar numaralanmış aynı büyüklük ve özellikte 9 top konuyor Torbadan rasgele bir top çekiliyor 4’ten büyük veya tek numaralı bir topun çıkma olasılığı nedir?

ÇÖZÜM:Evrensel küme
E = ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }
s( E ) = 9 dur

Tek numaralı bilyenin çıkması olayı;
A = ( 1,3,5,7,9 }, s( A ) = 5 ’tir

4 ten büyük numaralı bilyenin çıkması olayı;

B = ( 5,6,7,8,9 }, s ( B ) = 5’tir
A n B = (5,7,9 }, s ( A n B ) = 3’tür

P( A ) = 5 P ( B ) = 5 P( A n B) = 3
9 9 9 dur

Buna göre,

P( A u B ) = P( A ) + P( B )- P( A n B )
= 5 + 5 - 3
9 9 9
= 7
olur

BAĞIMSIZ OLAYLARIN BİRLİKTE OLMA ( A VE B OLAYININ ) OLASILIĞI

İki veya daha çok olayın gerçekleşmeleri birbirine bağlı değilse böyle olaylara “ bağımsız olaylar” denir
Bağımsız olayların birlikte olma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşittir

P( A ve B ) = P( A n B ) = P( A ) P( B ) dir

ÖR: Bir okulun birinci sınıfında 12 erkek ve 8 kız, ikinci sınıfında 6 erkek ve 12 kız öğrenci vardır Her iki sınıftan da rasgele seçilen birer öğrencinin ikisinin de kız öğrenci olma olasılığı nedir?
sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı A =>
P( A) = s( A ) 8 2
s( E ) 20 5 tir
sınıftan seçilen öğrencinin kız öğrenci olması olayı B =>
P( B ) = s( B) 12 2
s( E ) 18 3 tür
P( A n B ) = P( A ) P( B )
= 2 2 4
5 3 15 olur