Alan

Alan


Bir düzlem yüzeyi ölçmenin en kolay yolu, bu düzlem parçasının içinde belirli boyutlardaki birim karelerden kaç tane bulunduğunu saymaktır Örnek olarak aşağıdaki dikdörtgeni ele alalım

Bu dikdörtgenin kısa kenarı 3 santimetre, uzun kenan 5 santimetredir Dikdörtgensel bölge içindeki birim karelerin her iki kenarı da 1 cm olduğu için bu karelere 1 santimetre kare denir ve 1 cm2 biçiminde yazılır Böylece bütün yüzeyi örten birim kareleri sayarak bu dikdörtgenin alanının 15 cm2 olduğunu söyleyebiliriz
Dikdörtgenin kısa kenanndaki karelerin sayısını uzun kenardaki karelerin sayısıyla çarparsak gene aynı sonuca ulaşırız Demek ki dikdörtgenin alan formülü Alan = kısa kenar x uzun kenar ya da kısaca A = a X b biçiminde yazılabilir
Şimdi de aşağıdaki üçgenin alanını hesaplayalım
Örnek üçgenin içinde 12 tane tam birim kare vardır; tam bir kare oluşturmayan öbür yüzey parçaları da birleştirilirse 4 birim kare daha elde edilir Demek ki bu üçgenin alanı 16 birim kareye eşittir, yani 16 cm2'dir Bu üçgene aynı boyutlarda ikinci bir üçgen ekleyerek yüzeyi bir dikdörtgene dönüştürmek de alanını hesaplamanın ikinci bir yoludur
Böylece oluşan dikdörtgenin alanı 8x4 cm2, yani 32 cm2'dir Üçgenin alanı da bunun yarısına eşit olacağına göre gene 16 cm2 bulunur


Birim karenin kenar uzunluğu 1 metre olarak alındığında yüzeylerin alanı metre kare (m2) cinsinden ölçülür Geniş yüzeylerin ölçülmesinde bu birim daha uygundur Bir arazi parçasının yüzölçümünde ise birim olarak kilometre kare (km2) kullanılır Gene arazi ölçümünde kullanılan başka bir alan ölçüsü birimi de 10000 m2'ye eşit olan hektar'dır
Bütün kapalı yüzeyler düzlemsel olmayabilir Sözgelimi konserve kutusu gibi silindir biçimindeki eğri yüzeylerin alanını ölçmek için bu yüzeyi düzlemsel bir yüzeye dönüştürmek gerekir Böyle bir silindir açılarak bir düzleme yayılırsa yanal yüzlerinin dikdörtgen biçiminde olduğu görülür


Silindirin üst ve alt tabanlarının alanını hesaplamak için de dairenin alan formülünden yararlanabiliriz: A = m2 (Ayrıca bak DİFERANSİYEL VE İNTEGRAL HESAP) Bu formüldeki tt işareti Yunan alfabesinin "pi" harfidir; bu işaretin anlamını ve sayısal değerini de MATEMATİK maddesinde bulabilirsiniz

Hacim

Bazen bir konserve ya da kibrit kutusunun içine ne kadar madde sığacağını, yani bu kutunun sığa'smı (ya da kapasite'sini) bilmek gerekir Bunu öğrenmek için o kutunun hacmini ölçeriz
HACİM
dikdörtgenler prizması
H = abh
küre
H = 4/3 tt r3
silindir
H = tt r2h
koni
H = Vs tt r2h
piramit
H = Vs Ah

Tıpkı alan gibi hacim de bu cismin içindeki birim santimetre küp'leri sayarak hesaplanır Birim santimetre küp (cm3) kenan 1 cm olan küpün hacmine eşittir Kısa kenarı 3 cm, uzun kenarı 5 cm, yüksekliği de 2 cm olan bir kutunun hacmini hesaplamak için, bu kutunun içinde kaç tane birim santimetre küp bulunduğunu saymak gerekir
Kutunun kısa ve uzun kenarları ile yüksekliğindeki birim küplerin sayısını çarparak bunu kolayca bulabiliriz Demek ki hacim H, uzun kenar a, kısa kenar b, yükseklik de h harfiyle gösterilirse bir dikdörtgenler prizması olan bu kutunun hacim formülü H = a x b x h'dir


Bir kutunun hacmini bu yolla hesaplamak çok kolaydır; oysa bir kürenin ya da silindirin hacmini bulmak için çok daha karmaşık formüller gerekir Örneğin daha önce alanını hesapladığımız silindirin hacmini, taban alanı ile yüksekliğini çarparak bulabilirsiniz Demek ki silindirin hacim formülü H = 7rr2h'dir Kürenin hacmi ise 4/3 ttt3 formülüyle bulunur


En çok karşılaşılan bazı geometrik biçimlerin alan ve hacim formülleri yukarıdaki tabloda verilmiştir