Permütasyon, Kombinayson Ve Olasılık Hakkında Bilgi Verir Misiniz?

Permütasyon, Kombinayson Ve Olasılık Hakkında Bilgi Verir Misiniz?
Permütasyon, Kombinayson Ve Olasılık Hakkında Bilgi Verir Misiniz?

I PERMÜTASYON A SAYMANIN TEMEL KURALI

1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m n yolla yapılabilir

B FAKTÖRİYEL
1den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir
0! = 1 olarak tanımlanır
1! = 1
2! = 1 2



n! = 1 2 3 (n – 1) n
Ü n! = n (n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1) (n – 2)! dir

C TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir
n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

Ü 1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir

D TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun
n = n1 + n2 + n3 + + nr
olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir
n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :
(n – 1)! dir

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı :

II KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir
n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur
Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:

Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı

b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan

tane üçgen çizilebilir
Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çokfarklı noktada kesişirler
Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan
tane paralelkenar oluşur
Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır
III BİNOM AÇILIMI
A TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir
Burada;

sayılarına binomun katsayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir
ifadesinde katsayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir
B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELLİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır
2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin top-lamı n dir
3) Katsayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir
4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1) terim IMG]http://wwwmatematikciorg/oss/cebir/23c_dosyalar/cep_ma269gif[/IMG]
sondan (r + 1) terim IMG]http://wwwmatematikciorg/oss/cebir/23c_dosyalar/cep_ma270gif[/IMG]
(x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) dır
Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir
Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+ olmak üzere,
(xm + )n açılımındaki sabit terim,
ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur
Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için
x = 0 ve y = 0 yazılır
Ü (a + b + c)n nin açılımında
ak br cm li terimin katsayısı;

PERMÜTASYON :

Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak üzere , n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı sıralı r’ lilerine A kümesinin r’ li permütasyonları denir
n elemanlı A kümesinin r’ li permütasyonlarının sayısı P (n,r) = n! /(n-r)! formülü ile bulunur
Örnek: Farklı renkte 7 mendilin 3’ ü, bir öğrenciye 1 mendil verilmek şartıyla 3 öğrenciye kaç farklı şekilde verilebilir?
Çözüm : A kümesi mendiller kümesi olur Eleman sayısı 7 ' dir n = 7 , üç mendil dağıtılacak r = 3 olur Bu mendiller ;
P( 7, 3) = 7! / ( 7 - 3 )! = 7654! / 4! = 765 = 210 farklı şekilde dağıtılabilir
Uyarı :
i i n elemanlı bir kümenin n’li permütasyonlarının sayısı,
Yani P(n,n) = n(n-1)1 = n!’ dir
ii n elemanlı bir kümenin 1’ li permütasyonlarının sayısı, P (n,1) = n’dir
iii Permütasyonla çözülebilen problemlerin çarpmanın kuralıyla da çözülebileceğine ; ancak, çarpma kuralıyla çözülebilen her problemin permütasyonla çözülemiyeceğine dikkat ediniz
Örnek:5 Bay ve 3 bayan yan yana sıralanacaktır[*]Bu 8 kişi yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilir?[*]Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir?[*]Bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmemek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilir? Çözüm :[*]8 Kişi yan yana 8! farklı şekilde sıralanır[*]Bayanlar 1 kişi gibi düşünülürse 6 kişinin sıralanışı söz konusu olur 6 kişi yan yana 6! farklı şekilde sıralanır, ayrıca bayanlar kendi aralarında 3! farklı şekilde sıralanır Buna göre bu 8 kişi bayanlar yan yana gelmek şartıyla 6! 3! farklı şekilde sıralanabilir[*]Mümkün olan bütün sıralanışların sayısı 8! ve bayanların 3’ünün yan yana geldiği sıralanışların sayısı 6! 3! Olduğu için bayanların 3’ünün yan yana gelmediği sıralanışların sayısı, 8! - 6! 3! = 876! - 6! 321 = 6! (56-6) = 506! olur Dönel (dairesel) sıralama :
Tanım : n tane farklı elemanındaire şeklinde bir yere sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir Dairesel sıralamada en baştaki ile en sondaki eleman yanyana gelir Bu nedenle n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı düz bir hatta sıralanmaya göre 1 eksik eleman alınarak bulunur Yani Elemanlardan biri sabit tutulursa n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n-1)! olur
Örnek: 7 kişilik bir heyet bir masa etrafında oturacaktır[*]Bu heyet yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir? [*]Bu heyet düz bir masa boyunca kaç farklı şekilde oturabilir?[*]Heyet başkanı ve yardımcısı yan yana gelmek şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilirler? Çözüm :[*]7 kişi yuvarlak masa etrafında (7-1)! = 6! farklı şekilde oturabilir[*]Bu heyet düz bir masa etrafında 7! farklı şekilde oturabilir[*]Başkan ve yardımcısını bir kişi gibi düşünelim Bu durumda 6 kişinin yuvarlak masa etrafında oturması sözkonusu olur 6 kişi yuvarlak masa etrafında (6-1)! = 5! farklı şekilde oturabilir Ayrıca başkan ve yardımcı aralarında 2! değişik şekilde oturabilir Buna göre heyet, başkan ve yardımcı yan yana gelmek şartıyla, 5! 2! farklı şekilde oturabilir Tekrarlı permütasyonlar :
Tanım : n tane nesnenin n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, , nr tanesi de r çeşitten olsun
n= n1+ n2+ + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n’li permütasyonlarının sayısı,
(n1 ,n2 , , nr ) = n! / n1!n2!nr ‘ dir
Örnek: “ BABACAN” sözcüğünün harfleriyle 7 harfli anlamlı ya da anlamsız kaç farklı kelime yazılabilir?
Çözüm : 2 tane B harfi olduğu için n1 = 2
3 tane A harfi olduğu için n2 = 3,
1 tane C harfi olduğu için n3 = 1 ve bir tane N harfi olduğu için
n4 = 1 olsun Buna göre farklı sözcüklerin sayısı,
(2,3,1,1) = 7! / 2!3!1!1! = 7654321 / 213211 = 420 ‘ dir
KOMBİNASYON
Tanım : r ve n pozitif doğal sayılar ve r < n olmak şartıyla n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r ’ li kombinasyonu denir
n elemanlı kümenin r’li kombinasyonlarının sayısı, K(n,r), C(n,r), C nr ya da
( nr ) ile gösterilir Burada C (n,r) veya ( nr ) gösterimleri kullanılacaktır
n elemanlı kümenin r ' li kombinasyonlarının sayısı,
C(n,r) =( nr ) = n! / r! (n-r)! formülü ile bulunur
UYARI :Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme sözkonusudur [*]( nx ) = ( ny ) ise x = y veya x + y = n olur[*]( n0 ) = 1 [*]( n1 ) = n[*]( nn ) = 1 Örnek: Ali ve Veli’nin de aralarında bulunduğu 6 kişi arasından, aralarında Ali’nin bulunduğu ve Veli’nin bulunmadığı 4 kişilik grup kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm : Ali ve Veli arasından Ali seçilir, Veli seçilmez ve diğer 4 kişi arasından 3 kişi seçilirse istenen şart sağlanır Buna göre, Veli seçme dışıdır Ali’ yi mutlaka seçeceğiz ve Veliyi dışarda bırakacağımız için seçmeye katılacak 6 - 2 = 4 kişi kalır Bu 4 kişi arasından 3 kişinin seçimi C (4,3) ile bulunur
C (4,3) = 4! / (4-3)! 3! = 4321 / 1321 = 4’ tür

BİNOM AÇILIMI
x ve y reel sayı ve n pozitif bir doğal sayı olmak şartıyla
(x+y) n = C (n,0) xn + C (n,1) xn-1y+C (n,2) xn-2y2+ +C (n,r)xn-ryr++C (n,n)yn
ifadesine x+ y iki terimlisinin n inci kuvvetten açılımı, bir diğer ifadeyle binom açılımı denir
Binom açılımındaki katsayıları paskal üçgeni ile de bulabiliriz
1 (x+y)0
1 1 (x+y)1
1 2 1 (x+y)2
1 3 3 1 (x+y)3
1 4 6 4 1 (x+y)4
Sonuçlar : [*]Açılımda n+1 tane terim vardır [*]Açılımı oluşturan terimlerin çarpanlarının kuvvetleri toplamı n’dir mesela, açılımın bir terimi olan C (n,r) xn-r yr’ de terimi oluşturan xn-r çarpanı ile yr çarpanının kuvvetlerinin toplamı, n-r + r = n’ dir[*]Açılımda terimlerin katsayılarının toplamı değişkenlerin yerine 1 yazılarak bulunur Gerçekten, x = 1 ve y = 1 alınırsa , C (n,0) + C (n,1) + C (n,2) + + C (n,n) = 2n olur n elemanlı bir kümenin alt küme sayısının 2 n olduğunu hatırlayınız Benzer bir yaklaşımla tanımlı olduğu durumlar için değişkenlerin yerine 0 yazılarak açılımın sabit terimi bulunur x = 0 ve y = 0 yazılırsa sabit terim 0 olur
4 Açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlendiğinde baştan (r+1) terim ,
C(n,r) xn-r yr ‘dir [*](x+y) 2n açılımında n pozitif bir tam sayı ve açılım x’in azalan kuvvetlerine göre düzenlenmiş ise ortanca terim, C(2n,n) xnyn ‘dir