Polinomlar Konu Anlatımı

Polinomlar

A TANIM
n bir doğal sayı ve a0, a1, a2, , an – 1, an birer gerçel sayı olmak üzere,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn
biçimindeki ifadelere x değişkenine bağlı, gerçel (reel) katsayılı n dereceden polinom (çok terimli) denir

B TEMEL KAVRAMLAR
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an – 1xn – 1+anxn
olmak üzere,
Ü a0, a1, a2, , an–1, an in her birine polinomun terimlerinin katsayıları denir
Ü a0, a1x, a2x2, , an–1xn – 1, anxn in her birine polinomun terimleri denir
Ü Polinomun terimlerinden biri olan a2x2 teriminde x in kuvveti olan 2 ye bu terimin derecesi denir
Ü Polinomu oluşturan terimler içerisinde derecesi en büyük olan terimin katsayısına polinomun baş katsayısı, bu terimin derecesine de polinomun derecesi denir ve der [p(x)] ile gösterilir
Ü Değişkene bağlı olmayan terime polinomun sabit terimi denir
Ü a0 = a1 = a2 = = an = an–1 = 0 ise, P(x) polinomuna sıfır polinomu denir Sıfır polinomunun derecesi tanımsızdır
Ü a0 ¹ 0 ve a1 = a2 = a3 = an – 1 = an = 0 ise, P(x) polinomuna sabit polinom denir Sabit polinomunun derecesi sıfırdır
Her polinom bir fonksiyondur Fakat her fonksiyon polinom olmayabilir
Buna göre, fonksiyonlarda yapılan işlemler polinomlarda da yapılır

C ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOMLAR
P(x, y) = 3xy2 – 2x2y – x + 1
biçimindeki ifadelere iki değişkenli polinomlar denir Bu polinomda aynı terimdeki değişkenlerin üsleri toplamından en büyük olanına polinomun derecesi denir

D POLİNOMLARDA EŞİTLİK
Aynı dereceli en az iki polinomun eşit dereceli terimlerinin katsayıları birbirine eşit ise bu polinomlara eşit polinomlar denir
Ü P(x) polinomunun katsayıları toplamı P(1) dir
Ü P(x) polinomunda sabit terim P(0) dır
Herhangi bir polinomda; katsayılar toplamı bulunurken o polinomda değişkenler yerine 1 yazılır Sabit terim bulunurken o polinomda değişkenler yerine 0 (sıfır) yazılır P(ax + b) polinomunun; katsayıları toplamı
P(a + b) ve sabit terimi P(b) dir

Ü P(x) polinomunun;
Çift dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
Tek dereceli terimlerinin katsayıları toplamı:
E POLİNOMLARDA İŞLEMLER

1 Toplama ve Çıkarma
P(x) = anxn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 +
Q(x) = bnxn + bn – 1xn – 1 + bn – 2xn – 2 +
olmak üzere,
P(x) + Q(x) = (an + bn)xn + (an – 1 + bn–1)xn – 1 +
P(x) – Q(x) = (an – bn)xn + (an – 1 – bn–1)xn – 1 +
olur

2 Çarpma
İki polinomun çarpımı, birisinin her bir teriminin diğerinin her bir terimi ile ayrı ayrı çarpımlarından elde edilen terimlerin topl***** eşittir

3 Bölme
der [P(x)] ³ der [Q(x)] ve Q(x) ¹ 0 olmak üzere,
P(x) : Bölünen polinom
Q(x) : Bölen polinom
B(x) : Bölüm polinom
K(x) : Kalan polinomdur

Ü P(x) = Q(x) B(x) + K(x)
Ü der [K(x)] < der [Q(x)]
Ü K(x) = 0 ise, P(x) polinomu Q(x) polinomuna tam bölünür
Ü der [P(x)] = der [Q(x)] + der [B(x)]
Polinomlarda bölme işlemi, sayılarda bölme işlemine benzer biçimde yapılır

Bunun için;[*]Bölünen ve bölen polinomlar x in azalan kuvvetlerine göre sıralanır[*]Bölünen polinom soldan ilk terimi, bölen polinomun ilk terimine bölünür[*]Bulunan bu bölüm, bölen polinomun bütün te-rimleri ile çarpılarak, aynı dereceli terimler alt alta gelecek biçimde bölünen polinomun altına yazılır[*]Bulunan sonuç, bölünen polinomdan çıkarılır Fark polinomuna da aynı işlem uygulanır[*]Yukarıdaki işlemlere, kalan polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden küçük oluncaya kadar devam edilir F KALAN POLİNOMUN BULUNMASI
Kalan polinomu, klasik bölme işlemiyle ya da aşağıdaki 3 yöntemden biri ile bulabiliriz

1 Bölen Birinci Dereceden İse
Bir polinomun ax + b ile bölümünden kalanı bulmak için, polinomda değişken yerine

yazılır

• P(x) in x – b ile bölümünden kalan P(b) dir
• P(mx + n) nin ax + b ile bölümünden kalan

2 Bölen Çarpanlara Ayrılıyorsa
Bölen çarpanlara ayrılıyorsa, her çarpan sıfıra eşitlenir Bulunan kökler polinomda yazılarak kalan bulunur
P(x) polinomunun a(x – b) (x – c) ye bölümünden kalan mx + n ve bölüm polinom Q(x) ise,
P(x) = a(x – b) (x – c) Q(x) + mx + n olur
P(b) = mb + n (1)
P(c) = mc + n (2)
(1) eşitliği ile (2) eşitliğinin ortak çözümünden m ve n bulunur
Bölen polinomun derecesi n ise kalan polinomun derecesi en fazla (n – 1) dir

3 Bölen Çarpanlarına Ayrılamıyorsa
Bölen çarpanlarına ayrılamıyorsa aşağıdaki 2 yöntem sırasıyla uygulanarak kalan polinom bulunur
1) Bölen polinom sıfıra eşitlenerek en büyük dereceli değişkenin eşiti bulunur

2) Bulunan ifade bölünen polinomda yazılır

• P(x) polinomunun ax2 + bx + c ile bölü-münden kalanı bulmak için P(x) polinomunda x2 yerine yazılır

4 P(x) Polinomu (ax + b)n İle Tam Bölünüyorsa, (n Î N+)




P(x) = axn + bxm + d ise,
Pı(x) = a nxn–1 + b mxm–1 + 0
Pıı(x) = a n (n – 1)xn – 2 + b m(m –1) xm – 2 dir

P(x) polinomunun (x – a) ile bölümünden elde edilen bölüm Q(x) ve kalan k1, Q(x) polinomunun (x – b) ile bölümünden kalan k2 ise,
P(x) in (x – a) (x – b) ile bölümünden kalan
K(x) = (x – a) k2 + k1 olur

G BASİT KESİRLERE AYIRMA
a, b, c, d, e, f A, B birer reel (gerçel) sayı olmak üzere,



eşitliğinde A yı bulmak için, A nın paydasının kökü bulunur



Bulunan bu değer eşitliğin sol yanında A nın paydası atılarak elde edilen
de yazılır

Aynı işlemler B için de yapılır



H DERECE İLE İLGİLİ İŞLEMLER
m > n olmak üzere,
der[P(x)] = m
der[Q(x)] = n olsun

Buna göre,[*]der[P(x) ± Q(x)] = m tir[*]der[P(x) Q(x)] = m + n dir[*]P(x) in Q(x) ile bölümünden elde edilen bölüm B(x) ise, der[B(x)] = m – n dir[*]k Î N+ için der[Pk(x)] = k m dir[*]der[P(kx)] = m, k ¹ 0 dır