Periyodik Fonksiyon

Periyodik Fonksiyon

Reel sayılar kümesinin bir E altkümesinden IR ye bir f fonksiyonu verilsin ve sıfırdan farklı sabit bir reel sayı k olsun Eğer her x E için

f(x+k) = f(x)

eşitliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna periyodiktir denir, k ya da f in bir peryodu adı verilir

Konumuzu incelerken E=IR olması halini gözönüne alacak ve EÌIR, E¹IR olması hali incelendiği zaman özellikle belirtilecektir Bu tanıma göre IR den IR ye bir f fonksiyonunun peryodikliğini daha sade olarak şöyle ifade ederiz her x IR için

f(x+k)= f(x)

olacak şekilde bir sıfırdan farklı k sayısı bulunabiliyorsa f e peryodiktir denir ve k ya da f in peryodu denir

Örnek Her x IR için f(x)=sin x ile tanımlanan f fonksiyonu peryodiktir ve f in peryodu 2 p dir
Eğer bir k sayısı f in bir peryodu ise -k sayısı da f in bir peryodudur; çünkü k peryot olduğundan sıfırdan farklıdır dolayısıyla -k¹0 dır Yine k peryot olduğundan x-k IR için

f(x-k) = f((x-k)+k)= f(x)

olur O halde -k sayısı da f in bir peryodudur
Eğer k sayısı bir f fonksiyonun bir peryodu ise herbir n IN için nk sayısının da f in peryodu olduğu tümevarımla gösterilebilir n=1 için 1k=k sayısı f için bir peryottur Şimdi n=m için mk nın f nin peryodu olduğunda n=m+1 için (m+1)k nın da f nin peryodu olduğunu gösterelim n=m için mk sayısının f fonksiyonunun bir peryodu olduğunu kabul edelim Her x IR için

f(x+(m+1)k) = f(x+mk+k) = f((x+mk)+k); k peryot old
= f(x+mk) ; mk peryot olarak kabul edildiğinden
= f(x)

bulunur O halde (m+1) k sayısı da peryot olur Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n IN için nk sayısı peryot olur
Eğer k sayısı f fonksiyonunu bir peryodu ise her negatif m tamsayısı için mk sayısı da f fonksiyonunun bir peryodudurforumsinsinet
Çünkü; m negatif bir tamsayı ise m= -n olacak şekilde bir n IN vardır nk sayısı f in bir peryodu olur -nk da f in peryodu olur Dolayısıyla mk, f in peryodu olur