Polinom (Çokterimli)

Alm Polynom (n), Fr Polynôme, İng (Polynome) a0, a1, a2, an reel sayı, x değişken ve n de doğal sayı olmak üzere;

a0xn +a1xn-1+a2xn-2+ +an-1x+ an



şeklindeki ifâde Polinomlar P (x), Q (x), ile gösterilirBir polinomun derecesi, x’in en büyük kuvvetidir Çok değişkenli polinomlar da vardır Bu polinomlarda bir terimin derecesi, değişkenlerin üstlerinin toplamıdır Meselâ; P (x,y)= 2x3y2- 4x2y-x+3y+1 iki değişkenli bir polinomdur Bu polinomun derecesi 5’tir

Polinomların işlemleri:

Polinomların toplama ve çıkarması, x’in aynı kuvvetten terimlerinin katsayıları toplanarak yapılır Bir polinomun bir sayı ile çarpımı, polinomun her terimiyle verilen sayı çarpılarak yapılır İki polinomun çarpımı da, çarpmanın toplama üzerine dağılma özelliğinden faydalanarak yapılır Polinomların çarpımının değişme ve birleşme özellikleri vardır Polinomlar kümesinin toplama işlemine göre etkisiz elemanı sıfır polinomudur Sıfır polinomu:

P (x)= O xn+Oxn-1+ +Ox + 0’dır

Polinomlar kümesinin çarpma işlemine göre etkisiz (birim) elemanı 1 sâbit polinomudur 1 sâbit polinomu:

P (x)= 0xn+0xn-1+ +0x+ 1’dir

Polinomlar kümesi, çarpma işlemine göre ters elemanı olmadığından matematik sistem olarak bir halka teşkil eder Reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir (R[x], + ,) sistemi de reel katsayılı polinomlar halkasıdır

Polinomlarda bölme işlemi aritmetikteki bölme işlemi gibi yapılır Aşağıdaki şemayı inceleyiniz:

BölünenP(x) ç (Qx)Bölen

B (x) Bölüm



Polinomların bölme işlemi aşağıdaki “bölme özdeşliği”ni sağlar:

P(x)= Q (x) B(x) + K (x)

K(x)= 0 ise P (x) polinomu Q (x) polinomuna tam bölünüyor (bölünebiliyor) denir

Bir P (x) polinomunun X-a ile bölümünde bir özellik vardır Bölme işlemi yapılmadan kalan sayı kolayca bulunabilmektedir Kalan sayı K ile gösterilirse K= P (a) dır Ayrıca bölümü ve kalanı birlikte veren Horner Metodu da vardır

Polinom denklem: P (x)= 0 şeklindeki cebirsel denklemdir n’inci dereceden tek değişkenli bir polinom denklemin, reel veya kompleks n tâne kökü vardır Bu kökler x1, x2, , xn ile gösterilirse:

P(x)= (x-x1) (x-x2) (x-xn)= 0’dır Bir cebirsel denklemin kökleriyle katsayıları arasında aşağıdaki bağıntılar vardır:

a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an= 0