Monoton Diziler

Monoton Diziler
Herhangi bir ( an ) dizisinde için ,
an+1 < an an monoton azalandır
an+1 > an an monoton artandır
an+1 an an monoton artmayandır
an+1 an an monoton azalmayandır
Artan veya azalan dizilere kısaca monoton dizi denir
Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
Çözüm:
an+1 - an =
=
=
=
= >0
an+1 - an > 0
an+1 > an olduğundan monoton artandır
NOT: olmak üzere genel terimleri biçiminde olan dizilerin monotonluk durumlarını incelemek için aşağıdaki yol izlenir
1- Paydanın kökü olan –d/c>1 ise dizi ne artan ne azalandır
2- –d/c<1 ise dizi monotondur Ayrıca eğer ad–bc>0 ise artan, ad–bc<0 ise azalandır
3- ad–bc=0 ise dizi sabit dizidir
Örnek: dizisinin monotonluk durumunu inceleyiniz?
Çözüm:
a=7
b=9
c=5
d=1
–d/c = –1/5 < 0 olduğundan dizi monotondur
ad–bc = 71–95 = –38 < 0 olduğundan dizi monoton azalandır
Genişletilmiş Reel Sayılar Kümesi
Reel sayılar kümesine ¥ (artı sonsuz) ve - ¥ (eksi sonsuz) un katılmasıyla oluşan kümeye genişletilmiş reel sayılar kümesi denir K Î R olmak üzere (K, ¥) aralığına ¥’ un K komşuluğu (- ¥, K) aralığında - ¥ un koşuluğu denir
Örnek:
(an) = (n2) dizisinin limiti nedir?
(an) = (n2) dizisinin " K Î R için hemen hemen her terimi (K , ¥) aralığındadır Yani ¥ un K komşuluğundadır Buna göre, lim (an) = ¥ dur Ancak, ¥ bir reel sayı olmadığı için “(an) yakınsaktır” denilemez Bu durumu “(an) dizisi ¥ a ıraksar” şeklinde ifade ederiz
Sonsuzla Yapılan İşlemler
1 (+¥) + (+¥) = (+¥) ; (-¥) + (-¥) = (-¥)
2 (+¥) (+¥) = (+¥) ; (+¥) (-¥) = (-¥) ; (-¥) (-¥) = (+¥)
3 a+(+¥) = +¥ ; a+(-¥) = (-¥) aÎ R
4 a(+¥) = +¥ aÎ R ; a(-¥) = (-¥) aÎ R ; a(+¥) = (-¥) aÎ R- ; a(-¥) = (+¥) aÎ R-
5 = 0 , aÎ R ; = 0 , aÎ R
6 (+¥)n = +¥ , n Î N+ ; (+¥)2n = +¥ , n Î N+ ; (+¥)2n-1 = -¥ , n Î N+
7 0 (+¥) ; (+¥)–(+¥) ; ifadeleri belirsiz ifadelerdir

Bazı Özel Limit Alma Kuralları
1) dir
2) , ve ise dir
3) (bn) dizisinin terimleri pozitif olmak üzere, ise (an) = dizisinin limiti de b dir
4) için dir
5) Bir (bn) dizisi için lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti, lim(an) = b dir Bu özellik a’nın olması durumunda da geçerlidir
6) (bn) pozitif terimli bir dizi ve lim(bn) = b ise, genel terimi an = olan (an) dizisinin limiti de b dir
7) dır
Eğer ise mutlak değerin içi pozitif ise mutlak değer içi negatif olduğundan mutla kdeğerli ifade bunlara göre tanımlanır ve limitin sonucu bulunur Zaten dizilerde daima dur
ifadesinde a<0 ise dizinin limiti yoktur
Sınırlı dizi komşuluk dizilerde limit

--------------------------------------------------------------------------------

Sınırlı Dizi
Hem alttan hem üstten sınırlı dizilere kısaca sınırlı diziler denir b ve c sabit sayılar olmak üzere için, sınırlı
Sınırlı Dizilerin Özellikleri:
(an) ve (bn) sınırlı diz ve k R+ ise;
(an)+(bn) toplamı sınırlıdır
(an)(bn) çarpımı sınırlıdır
k(an) çarpımı sınırlıdır
c R olmak üzere; (cn)=(c) ise (cn) sınırlıdır
(an) sınırlı bir dizi ve n N+ için bn an ise (bn) dizisi de sınırlıdır
(an) sınırsız bir dizi ve n N+ için an bn ise (bn) dizisi de sınırsızdır
(an) ve (bn) sınırlı diziler ise ve n N+ için bn cn an ise (cn) diziside sınırlıdır
Yakınsak olan her dizi sınırlıdır Fakat sınırlı olan her dizi yakınsak olmayabilir
Komşuluk
a ve e birer reel sayı ve e > 0 olmak üzere, (a - e , a + e) açık aralığına a’ nın e (epsilon) komşuluğu denir

K = (a - e , a + e) = {x: |x – a| < e , x Î R}
Örnek: (an) = dizisi veriliyor
(an) in sınırlı olduğunu gösteriniz
EKÜS ve EBAS değerlerini bulunuz Dizinin en küçük ve en büyük elemanı varsa bulunuz
Çözüm:
a) için, Buna göre (an) sınırlıdır
b) EKÜS (an) = ve EBAS (an) = 0 dır
dizinin elemanıdır Fakat 0 değildir O halde dizinin en büyük elemanı iken en küçük elemanı yoktur
Örnek: (an) = dizisi veriliyor Bu dizinin 3 ün komşuluğunda olmayan kaç tane terimi vardır?
Çözüm: 3’ün komşuluğu K= dir Bu komşulukta olmayan terimler
K’= kümesinin elemanıdır
a’nın 3’ün komşuluğunda olmayan n tane terimi varsa,


olmalıdır olmalıdır Bu nedenle 3’ün komşuluğunda olmayan dizinin 9 tane elemanı vardır
Not: 3’ün komşuluğunda bulunan terimleri ise sonsuz sayıdadır
DİZİLERDE LİMİT
a, r gerçel sayılar ve r>0 olsun
Bir (an) dizisinin sonlu sayıdaki terimleri hariç diğer tüm terimleri a’nın r komşuluğunda ise (an) dizisinin limiti a dır, denir
(an) dizisinin limiti hesaplanırken n nin sonsuza gittiği varsayılır ( ) (an)’nin limiti a gibi bir gerçek sayı ise bu durum veya şeklinde gösterilir
Limiti olan diziye yakınsak dizi, olmayan diziye de ıraksak dizi denir
Limit Teoremleri:
c R ve lim an = a ise lim(can) = ca dır
lim an = a ve lim bn = b olsun
lim (an bn) = a b
lim (anbn ) = ab
lim (an/bn ) = a/b bn 0 ve b 0
Sabit diziler yakınsaktır ve limiti sabitin kendisidir
(an) c
(an) dizisi a’ya yakınsıyor ise (an) dizisinin tüm alt dizileri de a’ya yakınsar Yani;
lim an = a ve ise lim =a olur
(an) dizisinin tüm alt dizilerinin limitleri aynı değilse (an) dizisi ıraksaktır
ve an cn bn için
lim an=lim bn=a ise lim cn=a dır
lim an=a olsun r>0 ise
lim ra =ra dır
|a|<1 ise (an) 0
a>1 ise (an) +
a>-1 ise (an) an dizisinin limiti yoktur
,
Her n N+ için an 0 ve (an) 0 ise
(sin an / an) 1 dir
10)
11)
12) ise dır
Teorem:
Teorem: (an) = dizisinde
k=p ise dır dir
k<p ise dır
k>p ise dizi yakınsak değildir
Örnek: dizisinin limitini bulunuz?
Çözüm:

Örnek: a) b) dizilerinin limitlerini bulunuz
Çözüm:
a) = =
b) = = olduğundan
olduğundan ve dır
Örnek: (an) = 23n+2 / n+5 dizisinin limitini bulunuz?
Çözüm:

olduğuna göre dizilerde limit işlemlerinin özelliklerinden lim ra =ra da görüldüğü gibi;
lim (an) = lim (23n+2 / n+5) = 23 = 8 dir
Alt ve Üst Limitler:
Bir (an) dizisinin yakınsak alt dizilerinin limitlerinin en küçüğüne dizinin alt limiti, en büyüğüne de dizinin üst limiti denir
(an) dizisinin alt limiti lim an ile, üst limiti ise an ile gösterilir
an = lim an à an yakınsaktır







Örnek:

genel terimi ile verilen an dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?
Çözüm:

(an) dizisinin diğer alt dizileri ise ya ıraksak olur yada bu üç terimden birine yakınsar

olduğundan dolayı dizi ıraksaktır
Örnek: dizisinin alt ve üst limitlerini bulunuz?
Çözüm:

olarak bulunur