Cauchy İntegral Formülü

g(z) = z2 / (z2 + 2z + 2) fonksiyonunun mutlak değerinin yüzeyi ve yazıda açıklanan kontürlerle birlikte tekillikleri

Matematikte, Augustin Louis Cauchy'nin ardından adlandırılan Cauchy integral formülü karmaşık analizde merkezi bir ifadedir Bir disk üzerinde tanımlanmış holomorf bir fonksiyonun tamamen, fonksiyonun disk sınırındaki değerleri tarafından belirlendiğini ifade eder Ayrıca, holomorf bir fonksiyonun tüm türevleri için formül elde etmekte de kullanılabilir Cauchy formülünün analitik önemi karmaşık analizde "türev alma integral almaya denktir" ifade etmesidir: Bu yüzden karmaşık türevlilik, integral alma gibi, gerçel analizde olmayan düzgün limitler altında iyi davranma özelliğine sahiptir

Teorem

U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir altkümesi olsun, f : U → C holomorf bir fonksiyon olsun ve D = { z : | z - z0| ≤ r} kapalı diski tamamen U 'nun içinde yer alsın C kapalı diskin sınırını oluşturan çember olsun O zaman, D 'nin içindeki her a noktasında kontür integralinin saat yönünün tersine alındığı

ifadesi doğru olur

Bu ifadenin kanıtı Cauchy integral teoremini kullanır ve benzer bir şekilde sadece f 'nin karmaşık türevliliğini gerektirir Cauchy integral formülünde integrali alınan ifadenin paydasının (a - z0) değişkeninde kuvvet serisi açılabildiği için, holomorf fonksiyonlar analitiktir sonucu ortaya çıkar Özellikle, f aslında

ile sonsuz kere türevlenebilirdir Bu formüle bazen, Cauchy türev formülü de denilmektedir

C çemberi a etrafında dolanım sayısı bir olan U içindeki herhangi bir kapalı doğrultulabilir eğri ile değiştirilebilir Dahası, f 'nin yol tarafından çevrelenen açık bölgede holomorf olması ve kapanışında sürekli olması yeterlidir

Kanıt taslağı

Cauchy integral teoremi kullanılarak, C (veya kapalı doğrultulabilir eğri) üzerinde alına integralin a etrafında alınan herhangi bir küçük çember üzerindeki integralle aynı olacağı gösterilebilir f(z) sürekli olduğu için f(z) 'nin f(a) 'ya yakın olduğu küçük bir çember seçilebilir Diğer taraftan, a merkezli herhangi bir C çemberi üzerindeki

integrali 2πi 'ye eşittir Bu integral 0 ≤ t ≤ 2π ise ve ε çemberin yarıçapıysaalınarak parametrizasyon yoluyla (Değişken değiştirme) hesaplanabilir

ε → 0 alınarak ise istenilen tahmin
elde edilir

Örnek

|z| = 2 tarafından tanımlanan kontür (bu kontüre C denilsin) ve

ele alınsın

g(z) 'nin kontür etrafındaki integralini bulmak için, g(z) 'nin tekilliklerinin bilinmesi gerekir z1 = − 1 + i ve z2 = − 1 − i ise, g şu şekilde tekrar yazılabilir:

Kutupların ne olduğu açıktır, kutupların mutlak değeri 2'den küçüktür ve bu yüzden kontürün içinde yer alırlar ve formülün kullanımına uygundurlar Cauchy-Goursat teoremi kullanılarak, bu kontür etrafındaki integral z1 ve z2 etrafında ayrı ayrı daha küçük çember kontürleri alınarak elde edilen integrallerin toplamı şeklinde yazılabilir Bu küçük kontürler z1 ve z2 için sırasıyla C1 ve C2 olsun

C1 etrafında f analitiktir (çünkü kontür diğer tekilliği içermez) ve bu bir f 'nin

formunda yazılmasına olanak verir Şimdi

olur Diğer kontür etrafında da benzer işlem yapılırsa

elde edilir

O zaman C kontürü etrafındaki orijinal integral bu iki integralin toplamı olur:



Sonuçlar

İntegral formülünün geniş bir uygulama alanı vardır Birincisi, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde holomorfsa, o zaman fonksiyon aynı yerde sonsuz kere türevlenebilirdir Dahası, analitik bir fonksiyondur yani kuvvet serisi şeklinde temsil edilebilir Bu ifadenin kanıtı

ifadesinde baskın yakınsaklık teoremini ve geometrik seriyi kullanır Formül aynı zamanda meromorfik fonksiyonların bir sonucu olan kalıntı teoreminin ve ilişkin bir sonuç olan argüman ilkesinin kanıtında kullanılmaktadır Morera teoremi sayesinde holomorf fonksiyonların düzgün limitinin de holomorf olduğu bilinmektedir Bu sonuç Cauchy integral formülünden de çıkarılabilir: Formül limit içinde ve integrali alınan ifade için de geçerlidir ve bu yüzden integral kuvvet serisi olarak açılabilir Ayrıca, daha yüksek mertebeden türevler için Cauchy formülü bu türevlerin hepsinin düzgün bir şekilde yakınsadığını gösterir

Cauchy integral formülünün gerçel analizdeki analoğu harmonik fonksiyonlar için olan Poisson integral formülüdür Bu bağlamda, holomorf fonksiyonların özelliklerinin çoğu taşınabilir Ancak, daha genel türevlenebilir ve gerçel analitik fonksiyonlar sınıfı için artık bunun gibi sonuçlar geçerli değildir Örneğin, gerçel bir fonksiyonun birinci türevi daha yüksek mertebeden türevlerin varlığını veya fonksiyonun analitikliğini göstermez Benzer bir şekilde, bir (gerçel) türevlenebilir fonksiyonlar dizisinin düzgün limiti türevlenebilme özelliğine sahip olmayabilir veya türevlenebilir olur ama bu türev dizinin elemanlarının türevlerinin limiti olmayabilir

Genelleştirmeler

Pürüzsüz fonksiyonlar [değiştir]

Cauchy integral formülünün bir versiyonu, Stoke teoremine dayandığı için pürüzsüz fonksiyonlar için de geçerlidir D, C 'de bir disk olsun ve f, D 'nin kapanışında bir sürekli bir şekilde türevlenebilir fonksiyon yani C1 olan bir fonksiyon olsun O zaman (Hörmander 1966, Teorem 121),

olur Bu temsil formülü aynı zamanda D içinde, homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemlerini çözmek için de kullanılabilir Aslında, φ, D içinde fonksiyonsa,

denkleminin özel bir f çözümü

tarafından verilir

Daha ihtimamlı bir şekilde (Hörmander 1966, Teorem 122), μ, C üzerinde bir tıkız desteğin karmaşık (sonlu) ölçümü olursa, o zaman

μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olur Dahası açık bir D kümesi üzerinde bir φ ∈ Ck(D) (k≥1) için

olursa, o zamande Ck(D) 'nin içinde yer alır ve

denklemini sağlar

İlk sonuç, kısaca, Cauchy çekirdeği denilenile tıkız bir şekilde desteklenen ölçümün μ*k(z) girişimi, μ 'nün desteği dışında holomorf bir fonksiyon olmasıdır İkinci sonuç ise, Cauchy çekirdeğinin Cauchy-Riemann denklemlerinin temel bir çözümü olduğunu ifade eder