Aritmetik Dizi , Geometrik Dizi Ve Seriler

**Prof. Dr. Sinsi** · 10-29-2012

Aritmetik Dizi

A

TANIM

Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir

Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir

ÖRNEK

(an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz

Ortak farkını bulunuz

an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir

B

GENEL TERİM

Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir

5

a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = a1 + 3d

an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir

Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir

ÖRNEK

İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d

an = 8 + (n – 1) 2

an = 2n + 6’dır

C

ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir

p - k

ÖRNEK

39

terimi 19 ve 45

terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39)

d = (22 – 19)/6

d = ½’ dir

a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı :

d = b – a dır

n + 1

ÖRNEK

- 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır?

a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-]/(8+1) = 36/9 = 4

Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse,

Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da

2

Sn = n (a1 + an) olur

2

Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir

Diğer bir ifadeyle k<p iken,

ap = ap – k +ap + k dır

2

ÖRNEK

19

terimi 42 ve 33

terimi 88 olan aritmetik dizinin 26

terimi kaçtır?

a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için,

a26 = (a19+a33)/2

a26 = (42+8/2

a26 = 65’tir

GEOMETRİK DİZİ

TANIM

Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir

Diğer bir ifadeyle

" n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak

an

çarpan veya ortak oran denir

ÖRNEK

(an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz

Dizinin ortak çarpanını bulunuz

(an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir

GENEL TERİM

Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun

Bu durumda,

a1 = a1

a2 = r

a1

a3 = r

a2 = r2

a1

a4 = r

a3 = r3

a1

Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1

a1 veya an = rn – p

ap dir

ÖRNEK

İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir?

a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1

a1

an = (1/2)n – 1

4

an = 23 - n

GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ

Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur

ak

ÖRNEK

2

terimi 3/5 ve 5

terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir?

a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2

r3 = 75/3/5

r3 = 125

r = 5 tir

Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a1

1 – rn olur

1 – r

ÖRNEK

İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3

terimi nedir?

a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1

(1 – r3)/(1 – r)

Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir

Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır

ÖRNEK

3

terimi 3 ve 5

terimi 6 olan geometrik dizinin 7

terimi nedir?

a3 = ve a5 = (a3

a7)1/2 6 = (3

a7)1/2 36 = 3

a7 a7 = 12’dir

SONUÇ:

Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir

Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir

Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir

ÖRNEK:

Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n

terimi y’dir

Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x

6n – 1 6n = 6y/x

Sn = a1

(1 – rn)/(1 – r) = x

(1 – 6n)/(1 – 6) = x

(1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir

SERİLER

A

TANIM

(an) reel terimli bir dizi olsun

= a1+a2+a3+

+an +

sonsuz toplamına seri denir

an’e serinin genel terimi denir

Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+

+an toplamına serinin n

kısmi toplamı denir

(Sn) = (S1,

,S2,

,S3,

,Sn,

) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir

a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir

b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır

serisi yakınsak ise lim an = 0’dır

Bu ifadenin tersi doğru değildir

Yani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir

lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır

ÖRNEK

2n/5-n serisi veriliyor

Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

an = 2n/5-n = 2n

5n = 10n dir

lim an = lim 10n = ¥ dur

lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır

B

ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER

Aritmetik Seriler

(an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir

Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir

Aritmetik seri ıraksaktır

2

ÖRNEK

(n – 10)/20 serisi veriliyor

Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz

Serinin kısmi toplamını bulunuz

Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz

" n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir

a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20]

=n(n – 19)/40 = ¥

olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır

(Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır

Geometrik Seriler

(an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir

Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a1

1-rn’dir

1-r

|r| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir

1-r

|r| ³ 1ise seri ıraksaktır

ÖRNEK

31-n serisi veriliyor

Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz

" n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir

a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre,

Sn = 1

[1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir

r = 1/3 olduğuna göre |r| = |1/3| = 1/3 < 1 dir

Bunu için seri yakınsaktır

Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir

10-29-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Aritmetik Dizi , Geometrik Dizi Ve Seriler Aritmetik Dizi A TANIM Ardışık iki terimin arasındaki fark, aynı sabit bir sayı olan dizilere aritmetik dizi denir Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an+1 – an = d olacak şekilde bir d Î R varsa (an) dizisine aritmetik dizi, d sayısına da ortak fark denir ÖRNEK (an) = (n+10)/5 dizisinin aritmetik dizi olduğunu gösteriniz Ortak farkını bulunuz an+1 – an = (n+1+10)/5 – (n+10)/5 = 1/5 olduğuna göre (an), ortak farkı d = 1/5 olan bir aritmetik dizidir B GENEL TERİM Aritmetik dizinin ilk terimi a1 ve ortak farkı d = 1 olan bir aritmetik dizidir 5 a1 = a1 a2 = a1 + d a3 = a2 + d = a1 + 2d a4 = a3 + d = a1 + 3d an = an – 1 + d = a1 + (n – 1)d dir Demek ki, aritmetik dizinin genel terimi: an = a1 + (n – 1)d dir ÖRNEK İlk terimi 8 ve ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin genel terimi nedir? a1 = 8 ve d = 2 an = a1 + (n – 1) d an = 8 + (n – 1) 2 an = 2n + 6’dır C ARİTMETİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ Aritmetik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak fark : d = ap – ak dir p - k ÖRNEK 39 terimi 19 ve 45 terimi 22 olan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? a39 = 19 ve a45 = 22 d = (a45 – a39)/(45 – 39) d = (22 – 19)/6 d = ½’ dir a ve b gibi iki sayı arasına n tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı : d = b – a dır n + 1 ÖRNEK - 8 ve 28 sayıları arasına 8 tane terim yerleştirilerek oluşturulan aritmetik dizinin ortak farkı kaçtır? a = -8, b = 28 ve n = 8 olduğuna göre, d = (b – a)/(n+1) = [28 – (-]/(8+1) = 36/9 = 4 Aritmetik dizinin ilk terimi n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse, Sn = n [2a1 + (n – 1)d] ya da 2 Sn = n (a1 + an) olur 2 Bir aritmetik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıkta iki terimin kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin aritmetik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k<p iken, ap = ap – k +ap + k dır 2 ÖRNEK 19 terimi 42 ve 33 terimi 88 olan aritmetik dizinin 26 terimi kaçtır? a19 = 42 ve a33 = 88 ve (19 + 33)/2 = 26 olduğu için, a26 = (a19+a33)/2 a26 = (42+8/2 a26 = 65’tir GEOMETRİK DİZİ TANIM Ardışık iki terimin oranı aynı sabit bir sayı olan dizilere geometrik dizi denir Diğer bir ifadeyle " n Î N+ için, an + 1 = r olacak şekilde bir r Î R varsa (an) dizisine geometrik dizi, r sayısına ortak an çarpan veya ortak oran denir ÖRNEK (an) = (2n+5) dizisinin geometrik dizi olduğunu gösteriniz Dizinin ortak çarpanını bulunuz (an+1)/an = (2n+1+5)/2n+5 = 2olduğuna göre (an), ortak çarpanı r = 2 olan geometrik bir dizidir GENEL TERİM Dizinin ilk terimi a1 ve ortak çarpanı r olsun Bu durumda, a1 = a1 a2 = ra1 a3 = ra2 = r2a1 a4 = ra3 = r3a1 Demek ki, geometrik dizinin genel terimi: an = rn – 1a1 veya an = rn – pap dir ÖRNEK İlk terimi 14 ve ortak çarpanı ½ olan geometrik dizinin genel terimi nedir? a1 = 4 ve r = ½ an = rn – 1 a1 an = (1/2)n – 1 4 an = 23 - n GEOMETRİK DİZİNİN ÖZELLİKLERİ Geometrik dizide ap ve ak biliniyorsa, ortak çarpan : rp – k = ap eşitliğinde bulunur ak ÖRNEK 2 terimi 3/5 ve 5 terimi 75 olan geometrik dizinin ortak çarpanı nedir? a2 = 3/5 ve a5 = 75 r5 – 2 = a5/a2 r3 = 75/3/5 r3 = 125 r = 5 tir Geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı Sn ile gösterilirse Sn = a11 – rn olur 1 – r ÖRNEK İlk terimi 6 ve ilk 3 teriminin toplamı 42 olan geometrik dizinin 3 terimi nedir? a1 = 6 ve S3 = 42 ise S3 = a1 (1 – r3)/(1 – r) Bir geometrik dizide, her terim kendisinden eşit uzaklıktaki iki terimin geometrik ortalamasına eşittir Diğer bir ifadeyle k < p iken, ap = dır ÖRNEK 3 terimi 3 ve 5 terimi 6 olan geometrik dizinin 7 terimi nedir? a3 = ve a5 = (a3 a7)1/2 6 = (3 a7)1/2 36 = 3 a7 a7 = 12’dir SONUÇ: Sabit dizi, ortak farkı 0 olan aritmetik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Sabit dizi, ortak çarpanı 1 olan geometrik bir dizidir Yani, sabit dizi hem aritmetik hem de geometrik dizidir ÖRNEK: Bir geometrik dizinin ilk terimi x, ortak çarpanı 6, n terimi y’dir Bu dizinin, ilk n teriminin toplamının x ve y’ye bağlı ifadesi aşağıdakilerden hangisidir? a1 = x, r = 6 ve an = y olduğuna göre, an = a1rn – 1 y = x6n – 1 6n = 6y/x Sn = a1(1 – rn)/(1 – r) = x (1 – 6n)/(1 – 6) = x (1 – 6y/x)/(-5) = (6y – x)/5 dir SERİLER A TANIM (an) reel terimli bir dizi olsun = a1+a2+a3+ +an + sonsuz toplamına seri denir an’e serinin genel terimi denir Serinin ilk n teriminin toplamından oluşan Sn = a1+a2+a3+ +an toplamına serinin n kısmi toplamı denir (Sn) = (S1,,S2,,S3,,Sn,) dizisine kısmi toplamlar dizisi denir a) (Sn) dizisi yakınsak ise serisi de yakınsaktır ve serinin toplamı = lim Sn’ dir b) (Sn) dizisi ıraksak ise seriside ıraksaktır serisi yakınsak ise lim an = 0’dır Bu ifadenin tersi doğru değildirYani, lim an = 0 iken serisi yakınsak olmayabilir lim an ¹ 0 ise serisi ıraksaktır ÖRNEK 2n/5-n serisi veriliyor Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz an = 2n/5-n = 2n5n = 10n dir lim an = lim 10n = ¥ dur lim an ¹ 0 olduğuna göre seri ıraksaktır B ARİTMETİK VE GEOMETRİK SERİLER Aritmetik Seriler (an) dizisi bir aritmetik dizi ise serisine aritmetik seri denir Aritmetik serinin kısmi toplamı Sn = n (a1+a2)’dir Aritmetik seri ıraksaktır 2 ÖRNEK (n – 10)/20 serisi veriliyor Serinin, aritmetik seri olduğunu gösteriniz Serinin kısmi toplamını bulunuz Serinin ıraksak olduğunu gösteriniz " n Î N+ için d = an +1 – an =(n+1-10)/20 – (n-10)/20 = 1/20 olduğu için seri aritmetik seridir a1 = -9/20 ve an = (n – 10)/20 olduğuna göre, Sn =n/2(a1+an) = n/2[-9/20 + (n –10)/20] =n(n – 19)/40 = ¥ olduğuna göre (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksaktır (Sn) kısmi toplamlar dizisi ıraksak olduğu için sorulan seri ıraksaktır Geometrik Seriler (an) dizisi bir geometrik dizi ise serisine geometrik seri denir Geometrik serinin kısmi toplamı Sn = a11-rn’dir 1-r \|r\| < 1 ise seri yakınsaktır ve serinin toplamı: = a1’dir 1-r \|r\| ³ 1ise seri ıraksaktır ÖRNEK 31-n serisi veriliyor Serinin, geometrik seri olduğunu gösteriniz, serinin kısmi toplamını bulunuz, serinin yakınsak olduğunu gösteriniz, serinin toplamını bulunuz " n Î N+ için, r = (an+1)/an = 31-(n+1)/31-n = 1/3 olduğu için seri geometrik seridir a1 = 1 ve r = 1/3 olduğuna göre, Sn = 1 [1 – (1/3)n]/(1 – 1/3) = 3/2[1 – (1/3)n] dir r = 1/3 olduğuna göre \|r\| = \|1/3\| = 1/3 < 1 dir Bunu için seri yakınsaktır Seri yakınsak olduğuna göre toplamı 31 – n = a1/(1 – r) = 1/(1 – 1/3) = 3/2 dir