Olasılık

Olasılık


A TANIMOlasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir Bir zar atıldığında üst yüze
gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi
günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır
B OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (vb) tesbit
etme işlemine deney denir
Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir
Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek
uzayın her bir elemanına örnek nokta denir
Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir
Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız)
olay denir
Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin)
olay denir
A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun

A Ç B =
Æ

ise, A ve B olayına ayrık olay denir
C OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun
P : K ® [0, 1]
biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A
Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı
denir
Ü1) Her A Î
K için, 0 £ P(A) £
1 dir Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır
2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin
olayın olasılığı 1 dir
3) A, B Î K
ve A Ç B = Æ ise,
P(A È
B) = P(A) + P(B) dir
Ü 1)
2) A Ì B ise
P(A) £ P(B) dir
3)
A, A nın tümleyeni olmak üzere,
P(A) + P(–A) = 1 dir
4) P(A È B) = P(A)
+ P(B) – P(A Ç B)
5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer
ayrık bütün olayları ise,
(E = A È
B È C)
P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir
Ü 1) n, paranın atılma sayısını veya para
sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2n
dir
Ü 2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını
göstermek üzere, örnek uzay 6n dir
D BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya
bağımsız olaylar denir
Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir
Ü A ve B bağımsız iki olay olsun A nın ve B nin
gerçekleşme olasılığı :
P(A Ç B) = P(A) P(B) dir
E KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun B olayının gerçekleşmiş olması durumunda,
A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B)
ile gösterilir

Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun Bu deney n kez tekrarlandığında
A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

Olasılık Kuramı

Matematikte olasılık, herhangi bir şeyin gerçekleşme şansı, yani bir olaya hangi sıklıkla rastlanabileceğinin ya da bir olayın olabilirlik derecesinin ölçüsüdür Olasılık kuramını iki Fransız matematikçi, Pierre Fermat (160165) ve Blaise Pascal (162362) ortaya koymuştur (bak Pascal Blaise)

Havaya bir madeni para atacak olursanız ya yazı ya da tura gelebilir Her ikisi için de şans eşittir; bir başka deyişle, yazı gelme şansı ne kadarsa, tura gelme şansı da o kadardır Demek ki, burada iki eşit olasılık vardır; bunlardan biri tura gelme olasılığıdır ve bu olasılık 2'de l'dir ya da bir başka gösterim biçimiyle 1/2'dir

Tek bir zar atıldığında, gelebilecek altı sayı vardır Altı, bu sayılardan yalnızca biridir ve ilk atışta gelme olasılığı 6'da 1 ya da aynı şey demek olan 1/6'dır
52'lik bir oyun kâğıdı destesinden birli çekme olasılığı 52'de 4'tür (çünkü 52 kâğıt içinde dört adet birli vardır); bu da 4/52 biçiminde gösterilebilir Bu kesri sadeleştirerek olasılığın 1/13 olduğunu da söyleyebiliriz (bak KESİRLER)

Diyelim ki, üst üste iki kez para atışı yapıldı; bu iki atışta en az bir kez tura gelme olasılığı nedir? Burada karşılaşılabilecek durumlar sayılırken biraz daha dikkatli olmak gerekir Örneğin, Fransız matematikçi Jean Le Rond d'Alembert (171783) üç farklı durumla karşılaşılabileceğini ileri sürme yanılgısına düşmüştü D'Alembert'e göre, (i) ilk atışta tura gelebilirdi, (ii) ikinci atışta tura gelebilirdi, (iii) her iki atışta da tura gelmeyebilirdi

Bu üç durumdan ikisi turanın gelebilirliğini içerdiği için de olasılık 3'te 2 ya da bir başka gösterim biçimiyle 2/3'tü Oysa şekilde de görüldüğü gibi, karşılaşılabilecek dört durum vardır:
Bu dört durumdan üçünde en az bir tura olduğuna göre, en az bir kez tura gelme olasılığı 3/4'tür Demek ki, bu deney 100 kez yinelense bunların kabaca 75'inde en az bir kez tura gelir
Çift zar atılırsa altıaltı (düşeş) gelme olasılığı nedir? Bu iki yoldan bulunabilir:
1 Her zarın gelebileceği altı konum vardır

Birinci zarın gelebileceği altı konumun her biri, ikinci zarın gelebileceği altı konumun her biriyle birer kez eşleştirilir Bu yapıldığında, ikinci şekilde de görüldüğü gibi ortaya 36 durum çıkar Bunlardan yalnızca biri altıaltıdır Öyleyse olasılık 36'da l'dir ya da aynı şey demek olan 1/36 dır
2 Birinci zarda altı gelme olasılığı 'A'dır; ikincide altı gelme olasılığı da yine aynıdır İki zarda birden altı gelme olasılığı bulunmak istendiğinde, her bir zar için geçerli olan olasılıklar birbiriyle çarpılır:

1/6X1/6=1/36

Bu çarpma kuralı, birbirinden bağımsız iki olayın aynı ana rastlaması olasılığının kaçta kaç olduğunu bulmak için kullanılabilir Diyelim ki, bir oyun kâğıdı destesinden art arda iki kupa çekmek istiyoruz Çekeceğimiz ilk kartın kupa olma olasılığı 13/52'dir ya da bir başka deyişle, oyun kâğıtlarının dörtte biri kupa olduğundan '/4'tür (her iki kesir eşdeğerdedir) Ama ikinci kartı çekerken, geriye yalnızca 12 kupa ve toplam 51 kart kaldığı için, kupa gelme olasılığı l2/sı'dir Her iki kartın birden kupa olması olasılığı ise, çarpma kuralı uygulanarak bulunabilir:

1/4X12/51 = 12/204 =3/51=1/17

Bu kesirleri ondalık sayılara çevirerek olasılıkları karşılaştırmak bazen daha kolay olur Bir kupa çekme olasılığı,
1/4=0,25;

art arda iki kupa çekme olasılığı ise

1/17=0,0588
dolayındadır ve görüldüğü gibi ikincisi çok daha küçüktür

Çarpma kuralını kullanarak, peş peşe 13 kupa çekme olasılığının kaçta kaç olduğunu da kolayca bulabiliriz:

13/52 X 12/51 X11/50 X 10/49 X 9/48 X 8/47 X 7/4 6 X 6/45 X 5/44 X 4/43 X 3/42 X 2/41 X 1/40

Bu yaklaşık olarak 0,0000000000015'e eşittir ve gerçekten çok düşük bir olasılığı gösterir
Bir şey olanaksızsa, buna rastlama olasılığı da O'dır Örneğin iki zarla toplam 1 atma ya da bir canlının sonsuza değin yaşama olasılığı O'dır Öte yandan bir şeyin olacağı kesinse, buna her zaman (6 durum varsa 6'sında da, 100 durum varsa 100'ünde de) rastlanacaktır; bu gibi durumlarda olasılık l'dir Örneğin bir canlının bir gün ölme olasılığı l'dir Demek ki, olanaksızlık ve kesinlik dışındaki bütün öbür olasılıklar 0 ile 1 arasında yer alır Eğer bir şeyin olasılığı 1/2'den ya da bunun eşdeğeri olan 0,5'ten büyükse, bu durum o olayın olma olasılığının, olmama olasılığından daha yüksek olduğu anlamına gelir

Olasılıkları gösterdiğimiz biçimde hesaplamak her zaman olanaklı olmaz Örneğin, doğacak bebeğin kız olma olasılığını kuramsal olarak bilemeyiz Ama son birkaç yıldaki doğumları gözden geçirerek, doğan kız sayısının erkek sayısından biraz daha düşük olduğunu görür ve bebeğin kız olma olasılığının 0,5'in biraz altında olduğunu söyleyebiliriz Benzer biçimde, art arda iki kez para atıldığında en az bir kez tura gelmesi olasılığının kaçta kaç olduğunu, bu çifte atışları 100 kez yineleyip kaçında en az bir kez tura geldiğini saptayarak da bulabilir ve saptadığımız sayı 75'se, olasılığın yaklaşık 75/ıoo (3/4 ya da 0,75) olduğunu söyleyebilirdik


Benzer bir teknik örneklemede de kullanılır Eğer bir gölde kaç tür balık yaşadığını ve bunların oranlarını öğrenmek isteseydik, belki 100 balık tutar ve topladığımız bu örnekler içinde her türden kaç balık olduğunu sayabilirdik Bu da bize göldeki değişik balıkların olası oranlarını verirdi İzlediğimiz yöntemin ne ölçüde doğru sonuç verdiğini öğrenmek için olasılık kuramının daha ileri yöntemlerinden de yararlanabilirdik

Aynı yöntem kamuoyu yoklamalarında da kullanılır; Örneğin, örnekiem olarak alınan 1000 kişiye, siyasi partiler konusundaki düşünceleri ve hangi yönde oy kullanacakları sorulabilir Bu yoklama ülke geneli için oldukça sağlıklı bir fikir verebilir
Olasılık kuramı kumara ve şans oyunlarına olan ilgiyle başladı Ünlü kumarbaz Chevalier de Mere bir gün Blaise Pascal'dan, bir oyun bitmeden önce durdurulmak zorunda kalınırsa olası kazancın bölüştürülebilmesi için bir yöntem geliştirmesini istemişti
Olasılık günümüzde istatistikte, kuramsal fizikte, hava durumu tahminlerinde, malların kalite kontrolünde ve sigortacılıkta da kullanılmaktadır (Ansiklopedide İSTATİSTİK konusunda ayrı bir madde bulunmaktadır)