Karmaşık (Kompleks Sayılar)...

KARMAŞIK(KOMPLEKS)

SAYILAR



ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0  x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur

Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız


A TANIM:

a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir

C = { z : z = a + bi ; a, b  R ve -1 = i } dir

( i = -1  i² = -1 dir)

z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir


Örnek:

Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır

Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür

Z2 = 2 - 3i  Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,

Z3 = 3 + i  Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,

Z4 = 7  Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,

Z5 = 10i  Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur


Örnek:

x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım


Çözüm:


Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir

Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i²

X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir

2a 21 2

Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir








B İ ‘NİN KUVVETLERİ


iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i,

Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır


Buna göre , n  N olmak üzere,


i4n = 1

i4n + 1 = i

i4n + 2 = -1

i4n + 3 = -i dir


Örnek:


( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım


Çözüm:

i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1

i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i

i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i

i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,


(i24 + i15 + 1)(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1)(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir


C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ


Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir


Z1 = a + bi } olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir

Z2 = c + di }









Örnek:

Z1 = a + 3 + 2bi + 3i

Z 2 = 8 + (a + b)i

Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım


Çözüm:

Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,

a + 3 = 8  a = 5

2b + 3 = a + b  2b + 3 = 5 + b  b = 2 dir


Örnek:

Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i

Z2 = 0

Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım



Çözüm:

Z1 = Z2 olduğundan,

a – 2 = 0  a =2,

a + b + 3 = 0  2 + b + 3 = 0  b = -5 tir

O halde, ab = 2(-5) = -10 dur


D BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ



_

Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir


Örnek:

_

1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,

_

2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,

_

3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,

_

4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,

_

5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir


Örnek:

Z = a + bi olmak üzere,

_

3 Z – 1 = 2(4 – i)

olduğuna göre, a + b toplamını bulalım


Çözüm:

_

3 Z – 1 = 2(4 – i)

3 (a – bi) – 1 = 8 – 2i

3a – 1 – 3bi = 8 – 2i

olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir


3a – 1 = 8  3a = 9  a = 3 ve

-3b = -2  b = 2/3 tür


O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3

Not:


__

1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )



2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni

_

karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır


E KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM


1) Toplama - Çıkarma


Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır )


Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )



Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )



Örnek:


Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,


Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )

= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i

= 10 – 7i


Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)

= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i

= -6 – 13i


2) Çarpma:


Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır


Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun



Z1 Z2 = ( a + bi )( c + di)



= ac + adi + bic + bdi2 , ( i2 = -1 )


= ac – bd + ( ad + bc )i


Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i

_ _

Z1 Z1 = ( a + bi)( a – bi )  Z1 Z1 = a2 + b2 dir


Örnek:

Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun

a) Z1 Z2

_

b) Z1 Z1


c) (Z2)2 işlemlerini yapalım

Çözüm:


a) Z1 Z2 =( 2 – i ) ( 3 + 2i)



= 6 + 4i – 3i – 2i2

= 6 – 2( -1 ) + ( 4 – 3)i

= 8 + i dir


b) Z1 Z1 = ( 2 – i )( 2 + i )

= 22 – i2

= 4 – ( -1)

= 5 tir


c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2

= 32 + 232i + (2i)2

= 9 + 12i – 4

= 5 + 12i dir


Örnek:


( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 21i + i2 = 2i,

( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2( -1 )i + i2 = -2i,

( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25i = 32i,

( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210i2 = -210


3) Bölme:


Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır

Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun


Z1 a + bi ( a + bi )( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i

 =  =  = 

Z2 c + di ( c + di )( c – di ) c2 + d2










Örnek:


Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun


Z1 4 – 3i ( 4 – 3i )( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i

 =  =  =  =  = 2 + i dir

Z2 1 – 2i ( 1 – 2i )( 1 + 2i ) 12 + 22 5









Not:


1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,

çarpma işlemine göre tersi,


1 1 a – bi

 =  =  dir

Z a + bi a2 + b2


_ _

2) Z1 Z2 Z1 Z2

 = 

Z3 z3



Örnek:


3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım


Çözüm:


3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,


1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4

¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir

3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25





Örnek:


1 + 2i 1 – 2i

¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım

1 – i 1 + i


Çözüm:


1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i )( 1 +i ) ( 1 – 2i )( 1 – i )

¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾

1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12

( 1 + i ) ( 1 – i )

1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2

= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾

2 2 2


( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0i

= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir

2 2



Örnek:


1 – i 40

¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım

1 + i



Çözüm:


1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40

¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir

1 + i 12 + 12 2 1 + i

F KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ

GÖRÜNTÜSÜ



1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir


2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır


3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür


Örnek:


Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,


1) Karmaşık düzlemde

2) Vektör uzayında gösterelim


Çözüm:


1) imajiner eksen 2)

Z = 1 + 2i

2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)



0 ree eksen 0

1 1







G BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )


Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y


noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi

z

mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir x

a



Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir


Örnek:


Z = 5 + 12i

karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim


Çözüm:

12 Z = 5 + 12i

Z = 5 + 12i  Z


Z =  52 + 122

= 13 tür 0

5

Örnek:


Z = ( a + 2 ) + 3i

Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?


Çözüm:

____________

Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16


olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür


a + 2 = 4  a = 2 veya

a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür

a + 2 = -4  a = -6 dır












H MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

_ _ _

1) Z= -Z= Z=-Z=iZ=-iZ=


2) Z1Z2= Z1Z2


3) Z1 Z1

¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)

Z2 Z2


4) Zn = Zn

_

5) Z Z = Z2


6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2


Örnek:

3 – 3i

Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?

1 + i


Çözüm:


3 – 3i sayısının mutlak değeri,  32 + 32 = 32 dir


1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir O halde,


3 – 3i 32

Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür

1 + i 2


Örnek:


i2 = -1 olmak üzere,


Z1 = 2 + ni


Z2 = 1 + 2i

_______

Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?


Çözüm:


Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,

______

Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir


Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan,


n + 2 = 4  n = 2 veya

n + 2 = -4  n = -6 dır n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2(-6) = -12 dir

Örnek:


i2 = -1 olmak üzere ,


1 - xi

Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?

1 + xi

Çözüm:


Z10 = Z10 dur


1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir Buna göre,


1 - xi

Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir

1 + xi



1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir Yani,


Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir


2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir


Örnek:


A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim


Çözüm:


Z = x + yi olsun, y


Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4

3

 x + yi – 4 – 3i= 2


 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x

4

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur


Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir










SORULAR


1) i = -1 olmak üzere


-2 -8 + 1

¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun

(-3)2

Çözüm:


-2 -8 + 1 -1 2 -18 + 1 i 2i22 + 1 4i2 + 1 -4 + 1

¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir

(-3)2 -3 3 3 3


2) i = -1 olmak üzere,


i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun


Çözüm:


i37 = (i4)9i1 = 19i = i ,


i-5 = i-5+8 = i3 = -i,


i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2(-i) – i = 2i



3) i2 = -1 olmak üzere,


2x2 – 2x + 2

f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?

x3 + 1


Çözüm:


2x2 – 2x + 2

f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,

x3 + 1


2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )

f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir

i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2










4) i2 = -1 olmak üzere,

1 1

¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun

2 – i 2 + i


Çözüm:


1 1 2 + i + 2 - i 4

¾¾ + ¾¾ =¾¾¾¾¾ = ¾ tir

2 – i 2 + i 22 + 12 5

( 2 + i ) (2 – i)


5) x < 0 olmak üzere,


Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?


Çözüm:


Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x


Z =  -1(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)


Z = -1 x - 1 + x


Z = x + (1 – x)i bulunur


Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir


Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1



6) i = -1 olmak üzere,


Z1 = a + i


Z2 = 2 – i

______

Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?


Çözüm:


Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i

______

Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i

______

Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2







7) i = -1


i + 1

¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?

Z


Çözüm:


i + 1 1 + i 2i

¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i

Z 1 - i 2

(1 + i)


Z2003 = i2003 = i3 = - i


8) Z = x + yi olmak üzere,

_

(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?


Çözüm:

_

(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i


 -x + (2x + y)i = 2 – 3i


-x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1


 Z = -2 + i ve Z = 5


9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,

_

2Z Z + Z

¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?

Z - Z i


Çözüm:

_

Z = x + yi  Z = x – yi

_ _

Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi


Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2


ve Re(Z) – İm(z) = x – y


_

2Z Z + Z 2Z 2x

¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0

Z - Z i Z - Z i





10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,


Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?


A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x


Çözüm:


Z – 3i < Z + 3


x + yi – 3i < x + yi + 3


x + (y – 3)i < (x + 3) + yi


x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2


x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2


x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2


-6y < 6x


y > -x