* Çember * Elips * Analitik Geometri * Trigonometri

* Çember
* Elips
* Analitik geometri
* Trigonometri

Çember

Bir çember ; m = merkez, d = çap, r = yarıçap

Matematikte, düzlemde sabit bir noktaya eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir Başka bir deyişle, düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri bir çember belirtir

Tanımda bahsi geçen sabit noktaya çemberin merkezi, eşit uzaklıkların herbirine yarıçap, yarıçapın iki katı uzunluğa ise çap denir Genellikle, merkez m, yarıçap r, çap ise R (Büyük r harfi) ile gösterilir Çember üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına ise kiriş adı verilir Bu anlamda, merkeze göre birbirine bakışık(simetrik) olan iki noktayı birleştiren doğru parçasının uzunluğu aynı zamanda çapa eşittir

Analitik geometride çemberin denklemi xy-koordinat sisteminde şu biçimde yazılabilir:

Eğer çemberin merkezi koordinat sistemi içinde (0,0) noktası olursa, yukarıdaki ifade

şeklinde de yazılabilir ve bu çembere yarıçap 1 olduğunda birim çember denir

Çevre formülü

Yarıçapı r alan bir çember için çevre

formülüyle bulunur

Çemberin özellikleri

* Çemberin iki noktası arasında kalan parçaya; çember yayı (çember parçası) denir

* Bir kesenin, çember içerisinde kalan parçasına kiriş denir

Bir AB kirişi ve gösterilişi



* Çemberi iki eş parçaya ayıran doğru parçasına çap denir Merkezden geçen kiriş, çaptır

Bir çemberin çapı (R)



* Merkez ile, çember üzerindeki bir noktayı birleştiren doğru parçasına yarıçap denir Küçük r (r) ile gösterilir

* Çember, bulunduğu düzlemi; çemberin iç bölgesi, dış bölgesi ve kendisi olmak üzre üç bölgeye ayırır Çemberin kendisi ve iç bölgesinin birleşimine daire denir

Çemberin açıları

Çemberin merkezi, merkez açının köşesidir Çevre açının köşesi, çemberin üzerindedir Merkez açının içinde kalan çember parçasına, merkez açının gördüğü yay; çevre açının içinde kalan çember parçasına, çevre açının gördüğü yay denir Merkez açının kenarlarının, çemberi kestiği noktaların arasındaki yaylardan birisi majör, yani büyük çember yayı, diğeri de minör, yani küçük çember yayıdır Merkez açının gördüğü yay, minör yaydır Merkez açının ölçüsü, 0 ile 180 derece arasında, çember yaylarının ise, 0 ile 360 derece arasındadır

Bir AB çember yayı ve gösterilişi

Bir çemberin yarıçapı (r)

Elipsin 2a büyüklüğünde büyük (büyük ekseni) ve 2b büyüklüğünde küçük ekseni mevcuttur Elips bunları çap kabul eden küçük ve büyük çemberleri arasında kalır

Tanım

Elips, verilen iki noktaya (F1, F2) uzaklıkları toplamı sâbit olan noktaların geometrik yeri Verilen bu iki noktaya elipsin odakları denir Elips, aynı zamanda bir koniyle bir düzlemin ara kesitinden ibâret olan kapalı ikinci dereceden bir eğridir Odaklarının arasındakı uzlunluğa 2e dersek ortadaki nokta elipsin merkez noktasıdır Şekildeki elipsin 2a asal, 2b ise yedek eksenidir Aynı zamanda e² + b² = a²'dir Şekilde de görüldüğü gibi b ve F1 ile merkez arasındaki doğru parçası, yani e dik kenarlar, a ise hipotenüs´dür

Denklemi

Elips, sabit bir noktaya ve verilen bir doğruya uzaklıkları oranı birden küçük bir sayıya eşit olan noktalarının geometrik yeridir Denklemi

olarak bulunur

Merkezi (h,k) noktasında bulunan bir elipsin eşitliği de:

şeklinde verilebilir

Parametresi

Şekilde p ile gösterilen uzunluğun iki katı yani b ye paralel odaktan geçen kiriş´in uzunluğu 2p´yi bulmak için şu denklemi kullanabiliriz:

Herhangi Bir Noktadan Elipse Çizilen Teğetin Denklemi

denklemli bir elipsin herhangi bir P(m;n) noktasıdan geçen teğetin denklemi;
dir

Basıklığı

Asal eksen uzunluğuyla yedek eksen uzunluğunun farkının asal eksen uzunluğuna oranına elipsin basıklığı denir

Dış merkezliği

Elipste, odaklar arasındaki uzaklığın asal eksen uzunluğuna oranına elipsin dış merkezliği (eccentricity) denir ve c ile gösterilir:

Analitik geometri

Analitik geometri (Osmanlıca Tahlili hendese, Fransızca Géometri analytique), Geometrik çalışmaya cebrik analizi tatbik eden ve cebrik problemlerin çözümünde geometrik kavramları kullanan bir matematik dalı Bütün bunlar kartezyen sistem denilen bir koordinat sisteminin kullanılmasıyla mümkündür Kartezyen kelimesi, batıda analitik geometride ilk bilimsel çalışmayı yapan René Descartes'tan gelmektedir

Fransız düşünürü Descartes'ın çok önemli bir buluşudur Descartes'a gelinceye kadar geometri problemleri ayrı ayrı yöntemlerle, sistemsiz olarak ve anlak gücüyle çözümleniyordu Descartes'ın Kartezyen koordinat sistemini kullanarak ve cebir dilini geometriye uygulayarak bulduğu bu yöntemle geometri problemleri cebir denklemelerine çevrildi ve cebirle çözümlendikten sonra geometri diliyle açıklandı Birçok fizik probleminin çözümü de bu yöntemle kolaylaşmış oldu

Uzay analitik geometride temel bir konu, bir eğrinin veya belirli şartlar altında herhangi bir doğru veya noktanın kendi hareketiyle meydana getirdiği yüzeyin denklemidir Denklem, eğriyi meydana getiren her bir nokta kümesi tarafından sağlanan sayısal terimlerle ifade edilir r, dairenin yarıçapı ise daire denklemi:

x² + y² = r2

Mesela, merkezi başlangıçta olan birim yarıçaplı daire, başlangıçtan, birim uzaklıktaki noktalar kümesidir Bir çember üzerindeki herhangi bir nokta (x,y) koordinatlarına sahipse, birim yarıçaplı çemberin denklemi :

x² + y² = 1 olur

Bu denklem, çember üzerindeki her noktanın koordinatları tarafından sağlanır Benzer şekilde x² + y²= 4 denklemi merkezi başlangıçta ve yarıçapı iki birim olan çemberin denklemidir

Bazı geometrik ifadeler eşitsizliklerle ifade edilebilir Mesela;

x² + y² < 1 yukarıda tarif edilen çemberin içindeki bütün noktaları;

x² + y² > 1 denklemi de dışındaki bütün noktaları ifade eder

1 < x² + y² < 4 eşitsizliği x² + y² = 1 ve x² + y² = 4 denklemi bu iki çember arasındaki alanın noktalarını gösterir Analitik geometri, x ve y eksenlerine bir noktada dik olan üçüncü bir z ekseni ile genişletilir x, y ve z eksenleriyle gösterilen bir denklem yüzey ifade eder Mesela,

x² + y² + z² = 1 merkezi başlangıçta yarıçapı bir birim olan kürenin denklemidir Yüzeylerin ve eğrilerin önemli özelliklerini araştırmada kullanılan analitik geometri metatlarson üç asırda bilimin en önemli araçlarından biri haline gelmiştir

Trigonometri

Trigonometri, üçgenlerin açıları ile kenarları arasındaki bağıntıları konu edinen matematik dalı

Tarihi

Matematiğin doğrudan doğruya astronomiden çıkmış bir kolu olan trigonometrinin bazı ögeleri, daha Babilliler ve Mısırlılar döneminde biliniyor, eski Yunanlılar Menelaos’un Küresel geometrisi aracılığıyla, bir daire içine çizilebilen dörtgenden yola çıkarak daire yaylarının kirişlerinin değerlerini veren çizgiler oluşturuyorlardı Daha sonra Araplar, yay kirişlerinin yerine sinüsleri koyup; tanjant, kotanjant, sekant, kosekant kavramlarını geliştirdiler

Batı’da Nasirettin Tusi’den büyük ölçüde yararlanan Regiomontanus’un Üçgen Üstüne adlı eseriyle gerçek trigonometri doğmuş oldu François Viète ve Simon Stevin, hesaplarda ondalık sayılardan yararlandılar John Napier logaritmayı işe kattı Isaac Newton ve öğrencileri trigonometri fonksiyonlarının ve logaritmalarının hesabına tam serileri uyguladılar Daha sonra da Leonhard Euler, birim olarak trigonometrik cetvelin yarıçapını alarak, modern trigonometrinin temellerini attı[kaynak belirtilmeli]

Düzlemsel trigonometri aslında her tür düzlemsel üçgen için geçerli olmakla birlikte, bağıntılar genellikle dik üçgenlerde tanımlanır Açılarından biri (x) 0° ile 90° arasında olan bir dik üçgenin (düzlemsel bir üçgende iç açıların toplamı 180° olduğu için) öteki açısı 90-x'e eşittir Böyle bir üçgende dik açının karşısındaki kenar |OD| hipotenüs, O 'nun karşısındaki kenar |CD| karşı kenar, |OC| 'ya komşu olan kenar ise komşu kenar olarak adlandırılır Bu kenarlar birbirlerine ikişer ikişer altı farklı biçimde oranlanabilir, böylece A açısının trigonometrik fonksiyonları tanımlanmış olur

Açı

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir

[OA ve [OB ışınlarına açının kenarları, O noktasına ise açının köşesi denir

Birim (trigonometrik) çember

Merkezi orijin ve yarıçapı 1 birim olan çembere birim çember veya trigonometrik çember denir Birim çemberin denklemi x2 + y2 = 1 şeklindedir

Birim çemberde verilen bir P(x,y) noktası;

* 1bölgede

* 2bölgede

* 3bölgede

* 4bölgede dır

* Açıyı ölçmek demek, açının kolları arasındaki açıklığı belirlemek demektir

Bazı açı ölçü birimleri şunlardır;

DERECE: Bir tam çember yayının 360 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 derece denir

GRAD: Bir tam çember yayının 400 eşit parçaya bölünmesiyle elde edilen her bir yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 grad denir

RADYAN: Bir çemberde yarıçap uzunluğundaki yayı gören merkez açının ölçüsüne 1 radyan denir Çember yayının ölçüsü 2pi radyandır ve radyanla çarpılarak bulunur

Sarma fonksiyonu

Gerçel sayılar kümesinden birim çember üzerindeki noktalara tanımlanan fonksiyona sarma fonksiyonu denir

Sarma fonksiyonunu s ile, birim çemberi de C ile gösterirsek fonksiyon

şeklinde yazılabilir ve oldugunda olur Başka bir deyişle, sarma fonksiyonu, gerçel sayılar üzerinde dönemi (periyodu) 2π olan bir fonksiyondur

Bir açının esas ölçüsü

a) Verilen açı 0 < x < 360 ya da x = 0 , x = 360 ise;

x in esas ölçüsü kendisidir

b) Verilen açı x > 360 ya da x = 360 ise;

x in 360 a bölümünden kalan esas ölçüyü verir

c) Verilen açı x < 0 ise;

-x 360 a bölümünden kalan y olsun

O halde, x in esas ölçüsü dır

Trigonometrik fonksiyonlar



Sinüs, kosinüs ve tanjant

Trigonometry triangle

Sağdaki resimdeki gibi verilmiş bir ABC üçgeninde

* Sinüs (kısaltılmış biçimi; sin),
* kosinüs (cos),
* tanjant (tan ya da tg),
* kotanjant (cot)
* sekant (sec),
* kosekant (cosec) ve
olarak adlandırılır

Bu tanımlardan görülebileceği gibi, bu fonksiyonlar arasında,

(Pisagor teoremi)

ilişkileri vardır

Trigonometrinin kullanım alanları

Trigonometri birçok fen biliminde, matematiğin diğer alanlarında ve çeşitli sanatlarda yaygın bir biçimde kullanılmaktadır Trigonometriyi kullanan bazı dallar şunlardır:

jeofizik, kristalografi, ekonomi (özellikle de finansal pazarların analizinde), elektrik mühendisliği, elektronik, jeodezi, makine mühendisliği, meteoroloji, müzik kuramı, sayı kuramı (ve dolayısıyla kriptografi), oşinografi (okyanus bilimi), farmakoloji (eczacılık), optik, fonetik, olasılık kuramı, psikoloji, sismoloji

Trigonometri yukarıda örneklendiği gibi birçok farklı alana farklı katkılarda bulunmuştur Örneğin Pisagor kuramının isim babası Pisagor matematiksel müzik kuramına ilk katkıda bulunan isimlerdendir Oşinografide bazı dalgaların sinüs dalgalarına benzerliği ilgili incelemelerde trigonometrinin kullanımına olanak tanımıştır Bunun dışında Fourier serileri sayesinde trigonometrik fonksiyonlar farklı fonksiyonları temsil etmekte kullanılırlar ve bu sayede trigonometri birçok farklı dalda kullanım olanağı bulmuştur Böylece ısı akışı ve difüzyon başta olmak üzere özellikle periyodik özellik gösteren kavramların incelendiği birçok dalda ve fenomende trigonometrik fonksiyonlar kullanılabilmiştir; akustik, radyasyon ve elektronik gibi