|
Prof. Dr. Sinsi
|
Karmaşık (Kompleks Sayılar)...
KARMAŞIK(KOMPLEKS)
SAYILAR
ax² + bx + c = 0 denkleminin Δ < 0 iken reel kökünün olmadığını daha önceden biliyoruz Örneğin, x² + 1 = 0 denkleminin reel kökü yoktur Çünkü,( x² + 1 = 0 x² = -1 ) karesi –1 olan reel sayı yoktur
Şimdi, bu türden denklemlerin çözümünü mümkün kılan ve reel sayılar kümesini de kapsayan yeni bir küme tanımlayacağız
A TANIM:
a ve b birer reel sayı ve i = -1 olmak üzere, z = a + bi şeklinde ifade edilen z sayına Karmaşık ( Kompleks ) Sayı denir Karmaşık sayılar kümesi C ile gösterilir
C = { z : z = a + bi ; a, b R ve -1 = i } dir
( i = -1 i² = -1 dir)
z = a + bi karmaşık sayısında a ya karmaşık sayının reel ( gerçel ) kısmı, b ye karmaşık sayını imajiner (sanal) kısmı denir ve Re(z) = a, İm(z) = b şeklinde gösterilir
Örnek:
Z1 = 3 + 4i, Z2 = 2 – 3i, Z3 = 3 + i, Z4 = 7, Z5 = 10i sayıları birer karmaşık sayıdır
Z1 karmaşık sayısının reel kısmı 3, imajiner kısmı 4 tür
Z2 = 2 - 3i Re(Z2) = 2 ve İm(Z2) = -3,
Z3 = 3 + i Re(Z3) = 3 ve İm(Z3) = 1,
Z4 = 7 Re(Z4) = 7 ve İm(Z4) = 0,
Z5 = 10i Re(Z5) = 0 ve İm(Z5) = 10 dur
Örnek:
x² - 2x + 5 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulalım
Çözüm:
Verilen denklemde a = 1, b = -2, c = 5 tir
Δ = b² - 4ac = ( -2) ² - 415 = -16 = 16i²
X1,2 = -b ± Δ = -(-2) ± 16i² = 2 ± 4i = 1 ± 2i dir
2a 21 2
Ç = { 1 – 2i, 1 + 2i } dir
B İ ‘NİN KUVVETLERİ
iº = 1, i¹ = i, i² = -1, i³ = -i, i4 = 1, i5 = i,
Görüldüğü gibi i nin kuvvetleri ; 1, i, -1, - i, değerlerinden birine eşit olmaktadır
Buna göre , n N olmak üzere,
i4n = 1
i4n + 1 = i
i4n + 2 = -1
i4n + 3 = -i dir
Örnek:
( i14 + i15 + 1 )( i99 + i100 – 1) işleminin sonucunu bulalım
Çözüm:
i14 = (i4)3i2 = 13(-1) = -1
i15 = (i4)3i3 = 13(-i) = -i
i99 = (i4)24 i 3 = 124(-i) = -i
i100 = (i4)25 = 125 = 1 olduğu için,
(i24 + i15 + 1)(i99 + i100 – 1) = (-1 – i + 1)(-i + 1 – 1) = (-i) (-i) = i2 = - 1 dir
C İKİ KARMAŞIK SAYININ EŞİTLİĞİ
Reel kısımları ve imajiner kısımları kendi aralarında eşit olan iki karmaşık sayı eşittir
Z1 = a + bi } olsun Z1 =Z2 ↔ (a = c ve b = d) dir
Z2 = c + di }
Örnek:
Z1 = a + 3 + 2bi + 3i
Z 2 = 8 + (a + b)i
Z1 = Z2 olduğuna göre, b değerini bulalım
Çözüm:
Z1= (a + 3) + (2b + 3)i, Z2 = 8 + (a + b)i ve Z1 = Z2 olduğundan,
a + 3 = 8 a = 5
2b + 3 = a + b 2b + 3 = 5 + b b = 2 dir
Örnek:
Z1 = (a + b + 3) + (a – 2)i
Z2 = 0
Z1 = Z2 olduğuna göre, ab değerini bulalım
Çözüm:
Z1 = Z2 olduğundan,
a – 2 = 0 a =2,
a + b + 3 = 0 2 + b + 3 = 0 b = -5 tir
O halde, ab = 2(-5) = -10 dur
D BİR KARMAŞIK SAYININ EŞLENİĞİ
_
Z = a + bi karmaşık sayı ise Z = a – bi sayısına Z karmaşık sayısının eşleniği denir
Örnek:
_
1) Z1 = 4 + 3i sayısının eşleniği Z1 = 4 - 3i,
_
2) Z2 = 2 - 3i sayısının eşleniği Z2 = 2 + 3i,
_
3) Z3 = -7i sayısının eşleniği Z3 = 7i,
_
4) Z4 = 12 sayısının eşleniği Z4 = 12,
_
5) Z5 = 3 - 2 sayısının eşleniği Z5 = 3 - 2 dir
Örnek:
Z = a + bi olmak üzere,
_
3 Z – 1 = 2(4 – i)
olduğuna göre, a + b toplamını bulalım
Çözüm:
_
3 Z – 1 = 2(4 – i)
3 (a – bi) – 1 = 8 – 2i
3a – 1 – 3bi = 8 – 2i
olduğundan, 3a –1 = 8 ve -3b = -2 dir
3a – 1 = 8 3a = 9 a = 3 ve
-3b = -2 b = 2/3 tür
O halde, a + b = 3 + 2/3 = 11/3
Not:
__
1) Bir karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği kendisine eşittir ( ( z) = z )
2) Reel katsayılı ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin köklerinden biri Z = m + ni
_
karmaşık sayısı ise diğeri bu kökün eşleniği olan Z = m – ni sayısıdır
E KARMAŞIK SAYILARDA DÖRT İŞLEM
1) Toplama - Çıkarma
Karmaşık sayılar toplanırken ( ya da çıkarılırken ) reel ve sanal kısımlar kendi aralarında toplanır ( ya da çıkarılır )
Z1 = a + bi Z1 + Z2 = ( a + c ) + ( b + di )
Z2 = c + di Z1 – Z2 = ( a – c ) + ( b – di )
Örnek:
Z1 = 2 – 10i ve Z2 = 8 + 3i olduğuna göre,
Z1 + Z2 = ( 2 – 10i) + ( 8 + 3i )
= ( 2 + 8 ) + ( -10 + 3 )i
= 10 – 7i
Z1 – Z2 = ( 2 – 10i ) – ( 8 + 3i)
= ( 2 – 8 ) + ( -10 – 3 )i
= -6 – 13i
2) Çarpma:
Karmaşık sayılarda çarpma işlemi, i2 = -1 olduğu göz önüne alınarak, reel sayılardakine benzer şekilde yapılır
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun
Z1 Z2 = ( a + bi )( c + di)
= ac + adi + bic + bdi2 , ( i2 = -1 )
= ac – bd + ( ad + bc )i
Z1 Z2 = ( ac – bd ) + ( ad + bc )i
_ _
Z1 Z1 = ( a + bi)( a – bi ) Z1 Z1 = a2 + b2 dir
Örnek:
Z1 = 2 – i ve Z2 = 3 + 2i olsun
a) Z1 Z2
_
b) Z1 Z1
c) (Z2)2 işlemlerini yapalım
Çözüm:
a) Z1 Z2 =( 2 – i ) ( 3 + 2i)
= 6 + 4i – 3i – 2i2
= 6 – 2( -1 ) + ( 4 – 3)i
= 8 + i dir
b) Z1 Z1 = ( 2 – i )( 2 + i )
= 22 – i2
= 4 – ( -1)
= 5 tir
c) ( Z2 )2 = ( 3 + 2i )2
= 32 + 232i + (2i)2
= 9 + 12i – 4
= 5 + 12i dir
Örnek:
( -1 – i )2 = ( 1 + i )2 = 12 + 21i + i2 = 2i,
( 1 – i )2 = ( -1 + i )2 = ( -1 )2 + 2( -1 )i + i2 = -2i,
( 1 + i )10 =( ( 1 + i )2 )5 = ( 2i )5 = 25i = 32i,
( 1 – i )20 = ( ( 1 – i )2 )10 = ( -2i )10 = 210i2 = -210
3) Bölme:
Karmaşık sayılarda bölme işlemi, paydanın eşleniği ile pay ve paydanın çarpılması ile sonuçlandırılır
Z1 = a + bi ve Z2 = c + di olsun
Z1 a + bi ( a + bi )( c – di ) ( ac + bd ) + ( bc – ad )i
= = =
Z2 c + di ( c + di )( c – di ) c2 + d2
Örnek:
Z1 = 4 – 3i ve Z2 = 1 – 2i olsun
Z1 4 – 3i ( 4 – 3i )( 1 + 2i ) 4 + 8i – 3i – 6i2 10 + 5i
= = = = = 2 + i dir
Z2 1 – 2i ( 1 – 2i )( 1 + 2i ) 12 + 22 5
Not:
1) Z = a + bi sayısının, toplama işlemine göre tersi, -Z = -a – bi,
çarpma işlemine göre tersi,
1 1 a – bi
= = dir
Z a + bi a2 + b2
_ _
2) Z1 Z2 Z1 Z2
=
Z3 z3
Örnek:
3 – 4i karmaşık sayısının çarpma işlemine göre tersinin imajiner ( sanal ) kısmını bulalım
Çözüm:
3 – 4i sayısının çarpma işlemine göre tersi,
1 3 + 4i 3 + 4i 3 4 4
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = ¾ + ¾ i olduğuna için imajiner kısmı ¾ tir
3 – 4i 32 + 42 25 25 25 25
Örnek:
1 + 2i 1 – 2i
¾¾¾ + ¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım
1 – i 1 + i
Çözüm:
1 + 2i 1 – 2i ( 1 + 2i )( 1 +i ) ( 1 – 2i )( 1 – i )
¾¾¾ + ¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾¾¾¾
1 – i 1 + i 12 + 12 12 + 12
( 1 + i ) ( 1 – i )
1 + i + 2i + 2i2 1-i –2i + 2i2 1 + 3i – 2 + 1 – 3i - 2
= ¾¾¾¾¾¾ + ¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾
2 2 2
( 1 – 2 + 1 – 2 ) + ( 3 – 3 )i -2 + 0i
= ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = -1 dir
2 2
Örnek:
1 – i 40
¾¾¾ işleminin sonucunu bulalım
1 + i
Çözüm:
1 – i ( 1 – i )2 -2i 1 - i 40
¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾ = -i olduğundan, ¾¾¾ = ( -i )40 = 1 dir
1 + i 12 + 12 2 1 + i
|