Karmaşık (Kompleks Sayılar)...

F KARMAŞIK DÜZLEM VE BİR KARMAŞIK SAYININ

GÖRÜNTÜSÜ



1) İki boyutlu analitik düzlemdeki x ekseninin reel eksen, y ekseninin imajiner eksen alınmasıyla oluşturulan düzleme karmaşık düzlem denir


2) Z = a + bi karmaşık sayısının karmaşık düzlemdeki görüntüsü M(a,b) noktasıdır


3) Z = a + bi karmaşık sayısının iki boyutlu vektör uzayındaki görüntüsü M = (a,b) olmak üzere OM vektörüdür


Örnek:


Z = 1 + 2i karmaşık sayısını,


1) Karmaşık düzlemde

2) Vektör uzayında gösterelim


Çözüm:


1) imajiner eksen 2)

Z = 1 + 2i

2 Z = 1 + 2i 2 M(1,2)



0 ree eksen 0

1 1







G BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ ( MODÜLÜ )


Karmaşık düzlemde, bir karmaşık sayıya karşılık gelen y


noktanın, başlangıç noktasına uzaklığına bu sayının b z = a + bi

z

mutlak değeri ( modülü ) denir ve Z şeklinde gösterilir x

a



Z = a + bi  Z=  a2 + b2 dir


Örnek:


Z = 5 + 12i

karmaşık sayısının mutlak değerini bulmak bularak karmaşık düzlemde gösterelim


Çözüm:

12 Z = 5 + 12i

Z = 5 + 12i  Z


Z =  52 + 122

= 13 tür 0

5

Örnek:


Z = ( a + 2 ) + 3i

Z = 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?


Çözüm:

____________

Z= 5  ( a + 2 )2 + 32 = 5  ( a + 2 )2 + 32 = 52  ( a + 2 )2 = 16


olduğundan, a + 2 = 4 veya a + 2 = -4 tür


a + 2 = 4  a = 2 veya

a nın alabileceği değerlerin toplamı 2 + (-6) = -4 tür

a + 2 = -4  a = -6 dır












H MUTLAK DEĞERLE İLGİLİ ÖZELLİKLER

_ _ _

1) Z= -Z= Z=-Z=iZ=-iZ=


2) Z1Z2= Z1Z2


3) Z1 Z1

¾¾ = ¾¾ , ( Z2 ≠ 0)

Z2 Z2


4) Zn = Zn

_

5) Z Z = Z2


6) Z1 - Z2 < Z1 ± Z2 < Z1 + Z2


Örnek:

3 – 3i

Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z = ?

1 + i


Çözüm:


3 – 3i sayısının mutlak değeri,  32 + 32 = 32 dir


1 + i sayısının mutlak değeri, 12 + 12 = 2 dir O halde,


3 – 3i 32

Z = ¾¾¾ = ¾¾ = 3 tür

1 + i 2


Örnek:


i2 = -1 olmak üzere,


Z1 = 2 + ni


Z2 = 1 + 2i

_______

Z1 + Z2 = 5 olduğuna göre, n nin alabileceği değerlerin çarpımı ?


Çözüm:


Z1 + Z2 = (2 + ni) + (1 + 2i) = 3 + (n + 2)i ,

______

Z1 + Z2 = 3 – (n + 2)i dir


Z1 + Z2 = 5   32 + (n + 2)2 = 5  32 + (n + 2)2 = 52  (n + 2)2 = 42 olduğundan,


n + 2 = 4  n = 2 veya

n + 2 = -4  n = -6 dır n nin alacağı değerlerin çarpımı, 2(-6) = -12 dir

Örnek:


i2 = -1 olmak üzere ,


1 - xi

Z = ¾¾¾¾ olduğuna göre, Z10=?

1 + xi

Çözüm:


Z10 = Z10 dur


1 – xi sayısının eşleniği 1 + xi olduğundan 1 - xi = 1 + xi dir Buna göre,


1 - xi

Z = ¾¾¾ = 1 ve Z10 =110 = 1 dir

1 + xi



1) Z1 = x1 + y1i ve Z2 = x2 + y2i sayıları arasındaki uzaklık, bu sayıların karmaşık düzlemdeki görüntüleri olan noktalar arasındaki uzaklığa eşittir Yani,


Z1 – Z2 = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 dir


2) Z – Z0 = r şartını sağlayan Z karmaşık sayılarının kümesi, Z0 sabit noktasına r birim uzaklıktaki noktaların kümesidir Bu küme, merkezi Z0 ve yarıçapı r olan çemberdir


Örnek:


A = Z : Z – 4 – 3i = 2, Z € C kümesini karmaşık düzlemde gösterelim


Çözüm:


Z = x + yi olsun, y


Z – 4 – 3i = 2 2 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 4

3

 x + yi – 4 – 3i= 2


 (x – 4)2 + (y – 3)2 = 2 0 x

4

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 22 bulunur


Yani, Z karmaşık sayıları merkezi (4,3) noktası ve yarı çapı 2 olan çemberi oluşturan noktaların kümesidir










SORULAR


1) i = -1 olmak üzere


-2 -8 + 1

¾¾¾¾¾¾¾ işleminin sonucunu bulun

(-3)2

Çözüm:


-2 -8 + 1 -1 2 -18 + 1 i 2i22 + 1 4i2 + 1 -4 + 1

¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾ = ¾¾¾ = -1 dir

(-3)2 -3 3 3 3


2) i = -1 olmak üzere,


i37 – 2i-5 + i3 soncunu bulun


Çözüm:


i37 = (i4)9i1 = 19i = i ,


i-5 = i-5+8 = i3 = -i,


i3 = -i olduğundan i37- 2i-5+i3 = i – 2(-i) – i = 2i



3) i2 = -1 olmak üzere,


2x2 – 2x + 2

f(x) = ¾¾¾¾¾¾ olduğuna göre f(i) = ?

x3 + 1


Çözüm:


2x2 – 2x + 2

f(x) = ¾¾¾¾¾¾ ,

x3 + 1


2i2 – 2i + 2 -2 – 2i + 2 -2i ( 1 + i ) -2i ( 1 + i )

f(i) = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = ¾¾¾¾¾¾ = 1 – i dir

i3 + 1 1 – i ( 1 - i ) ( 1 + i ) 2










4) i2 = -1 olmak üzere,

1 1

¾¾ + ¾¾ işleminin sonucunu bulun

2 – i 2 + i


Çözüm:


1 1 2 + i + 2 - i 4

¾¾ + ¾¾ =¾¾¾¾¾ = ¾ tir

2 – i 2 + i 22 + 12 5

( 2 + i ) (2 – i)


5) x < 0 olmak üzere,


Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x karmaşık sayısının reel kısmı ile sanal kısmının toplamı kaçtır?


Çözüm:


Z =  -x2 + 2x –1 + -x+ 2x


Z =  -1(x –1)2 - x + 2x, (x < 0)


Z = -1 x - 1 + x


Z = x + (1 – x)i bulunur


Re(Z) = x ve İm(Z) = 1 – x tir


Re(Z) + İm(Z) = x + 1 – x = 1



6) i = -1 olmak üzere,


Z1 = a + i


Z2 = 2 – i

______

Z1 – Z2 = 2 olduğuna göre a = ?


Çözüm:


Z1 – Z2 = (a + i) – (2 – i) = (a – 2) + 2i

______

Z1 – Z2 = (a – 2) – 2i

______

Z1 – Z2= 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 2  (a – 2)2 + (-2)2 = 22  (a – 2) 2 = 0  a = 2







7) i = -1


i + 1

¾¾¾ = 1 – i olduğuna göre Z2003 nedir?

Z


Çözüm:


i + 1 1 + i 2i

¾¾¾ = 1 – i  Z = ¾¾  Z = ¾  Z = i

Z 1 - i 2

(1 + i)


Z2003 = i2003 = i3 = - i


8) Z = x + yi olmak üzere,

_

(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i olduğuna göre, Z = ?


Çözüm:

_

(i – 1)Z +iZ = 2 – 3i  (i – 1)(x - yi) + (x + yi) = 2 – 3i  xi + y – x + yi + xi – y = 2 –3i


 -x + (2x + y)i = 2 – 3i


-x = 2  x = -2 ve 2x + y = -3  -4 + y = -3  y = 1


 Z = -2 + i ve Z = 5


9) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,

_

2Z Z + Z

¾¾¾¾ = ¾¾¾ olduğuna göre Re(Z) – İm(Z) = ?

Z - Z i


Çözüm:

_

Z = x + yi  Z = x – yi

_ _

Z + Z = 2x ve Z – Z = 2yi


Z2 = (  x2 + y2 )2 = x2 + y2


ve Re(Z) – İm(z) = x – y


_

2Z Z + Z 2Z 2x

¾¾¾¾ = ¾¾¾  ¾¾¾¾ = ¾¾  (x + y)2 = 0  x – y = 0

Z - Z i Z - Z i





10) i = -1 ve Z = x + yi olmak üzere,


Z – 3i < Z + 3 olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi doğrudur?


A) y < -x B) y < x C) y > x D) y > -x E) 2y > -x


Çözüm:


Z – 3i < Z + 3


x + yi – 3i < x + yi + 3


x + (y – 3)i < (x + 3) + yi


x2 + (y – 3)2 <  (x + 3)2 + y2


x2 + (y – 3)2 < (x + 3)2 + y2


x2 + y2 – 6y + 9 < x2 + 6x + 9 + y2


-6y < 6x


y > -x