Kutupsal Koordinat Sistemi

Diğer eğriler

Kutupsal koordinat sisteminin dairesel özelliği, birçok eğrinin Kartezyen biçimdense kutupsal bir denklemle çok daha kolay tanımlanmasını sağlar Bu eğrilerin arasında lemniskatlar, ilmek eğrileri (limaçonlar) ve özel bir tip limaçon olan kardiyoidler vardır

Karmaşık sayılar


Karmaşık sayılar, Kartezyen koordinat sisteminde bir dikdörtgen tanımlayan a + bi biçimiyle yazılabildikleri gibi, kutupsal biçimde de yazılabilirler ve iki farklı yolu vardır:[*] olarak kısaltılabilen ve[*] Bu ifadeler, Euler formülü üzerinden birbirine denktir[14]

Kutupsal ve dikdörtgensel karmaşık sayılar arasındaki dönüşümü sağlamak için, aşağıdaki dönüşüm formülleri kullanılır:


ve bu ifadelerden, Karmaşık sayıların çarpımı, bölümü, üslü işlemleri ve köklerinin bulunması için kutupsal karmaşık sayıları kullanmak, dikdörtgensel karmaşık sayıları kullanmaktan daha kolaydır Kısaltılmış olarak şu ifadeler yazılabilir:

• Çarpma:
• Bölme:
• Üslü ifadeler (De Moivre formülü):

Kalkulus


Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş denklemlere kalkulus (diferansiyel ve integral hesaplamalar) uygulanabilir[15][16]

Diferansiyel hesaplama

Bir r(θ) kutupsal eğrisine herhangi bir noktasından teğet olan doğrunun Kartezyen eğimini bulmak için, eğri öncelikle parametrelere bağlı bir denklem sistemi ile tanımlanır:

Sonra, bu denklemlerin θ'ya göre türevlerinin alınmasıyla şu denklemler elde edilir:

Birinci denklemin ikinciyle bölünmesi sonucunda da eğriye (r, r(θ)) noktasında teğet olan doğrunun Kartezyen eğimine ait denklem elde edilir:


İntegral hesaplama


0 < b − a < 2π olmak üzere, r(θ) eğrisinin [a, b] kapalı aralığında kalan kısmının altında kalan alanı bulmak için, öncelikle eğri bir Riemann toplamı olarak tanımlanır

• İlk olarak, [a, b] aralığı n kadar alt aralığa bölünür (burada n, isteğe bağlı seçilmiş pozitif bir tam sayıdır) Böylece, her alt aralığın uzunluğunu temsil eden Δθ, aralığın tüm uzunluğunun (b − a) alt aralık sayısına (n) bölümüne eşit olurforumsinsinet
• Her i = 1, 2, …, n alt aralığı için θi'nin alt aralığın orta noktası olduğu kabul edilir ve merkezi kutupta, yarıçapı r(θi) ve merkezî açısı Δθ olan birer sektör çizilir
• Buna göre, çizilmiş her sektörün alanı şu denklemle verilebilir:

• Dolayısıyla, tüm sektörlerin toplam alanı da altta sunulan denklemle tanımlanır:

n alt aralıklarının sayısı ne kadar artarsa, söz konusu alanın ölçümü de gerçek alana o kadar çok yaklaşır Böylece, [a, b] aralığındaki r(θ) eğrisinin altında kalan alan söyle tanımlanabilir:

Bu ifade, aşağıdaki integralin Riemann toplamıdır:


Vektörel hesaplamalar

Hesaplamalar, denklemlerin kutupsal koordinatlar içinde ifade edilmesi ile bu koordinatlarda uygulanabilir , r ve θ t zamanına bağlı olmak üzere yönündeki birim vektör ve için uygun açılardaki birim vektör olsun Konumun birinci ve ikinci türevleri şunlardır:

ve tarafından şekillendirilmiş paralelkenar alanının yarısıdır,

, ve toplam alan 'nın zamana göre integralinin alınması ile bulunur