Kutupsal Koordinat Sistemi

Üç boyut

Kutupsal koordinat sistemi, biri silindrik koordinat sistemi ve diğeri de küresel koordinat sistemi olmak üzere, iki farklı koordinat sistemi ile üç boyuta genişletilir Her iki sistem de iki boyutlu kutupsal koordinatları bir alt küme olarak kullanır



Silindirik koordinatlar ile çizilmiş iki nokta

Silindirik koordinatlar
Silindirik koordinat sistemi, düzlemden ayrı duran bir noktanın düzleme olan yüksekliğini ölçebilecek üçüncü bir koordinatı iki boyutlu kutupsal koordinat sistemine ekleyerek elde edilir Bu, kartezyen koordinat sistemini üç boyuta genişletmek için kullanılana benzer bir yöntemdir İki boyutlu kutupsal koordinat düzlemine dik duran ve kutup noktasından geçen üçüncü koordinat, genellikle h ile gösterilir dikdüzlemine Üçüncü koordinat genelde h ile gösterilir Buna göre de üç silindirik koordinat, (r, θ, h) yazımı ile ifade edilirforumsinsinet
Silindirik koordinatların Kartezyen koordinatlara dönüşümü şu şekilde olur:


Küresel koordinatlar kullanılarak çizilmiş bir nokta



Küresel koordinatlar

Ana madde: Küresel koordinat sistemi

Kutupsal koordinatlar, (ρ, φ, θ) koordinatları kullanılarak da üç boyuta genişletilebilir Burada;

• ρ, kutup noktasından olan uzaklık,
• φ, z ekseninden olan açı ("eş enlem" (colatitude) ya da "zirve" (zenith) de denir; 0'dan 180°'ye kadar ölçülür) ve
• θ da kutupsal koordinatlardaki gibi, x ekseninden olan açıdır

"Küresel koordinat sistemi" olarak adlandırılan bu sistem, Dünya için kullanılan enlem ve boylam sistemine benzerdir:

• enlem, φ'nin tümleyicisidir ve δ = 90° − φ eşitliğiyle belirlenir;
• boylam da l = θ − 180° ile saptanır[17]

Küresel koordinat sistemini oluşturan üç koordinatın, Kartezyen sisteme dönüşümü şu şekildedir



Uygulamalar


Robot bilimi

Hareket edebilen çoğu robot, seyir için kutupsal koordinat sistemini ya da onun biraz değiştirilmiş hâlini kullanır Bu yapay zekâ için çok uygundur çünkü koordinat sisteminin merkezini (kutbunu) daima robotun o andaki konumu oluşturur Dolayısıyla, robotun herhangi bir zamanda koordinat sisteminin neresinde olduğunu hesaplamasına gerek yoktur: tek gereken, hangi yönde ve ne kadar uzağa gideceğini belirlemesidir Eğer robotlar kartezyen koordinat sistemini kulanarak yol alsalardı, hareket için gerekli uzaklık ve açı hesaplamaları için cebir ve trigonometri kullanmak gerekirdi Oysa, kutupsal koordinat sistemindeki bir açı ile ifade edilen yön ile katedilmesi gereken uzaklık bilgisi, robotun tam istenen yere gitmesini sağlamak için yeterlidir

Havacılık

Havalanan uçaklar, seyir için kutupsal koordinat sisteminin biraz değiştirilmiş bir çeşidini kullanırlar Bu sistemde, genellikle "yön 360" (heading 360) olarak adlandırılan 0° ışını dikeydir ve açılar saatin tersi yönde değil, saat yönünde devam eder Yön 360 manyetik kuzeye denk gelirken, 90, 180 ve 270 yönleri de sırasıyla manyetik doğu, güney ve batıya denk gelir[18] Dolayısıyla, örneğin doğuya doğru 5 deniz mili kadar yol alacak bir uçak, yön 90 üzerinde 5 birim katedecek demektir



Temelde iki Arşimet spiralinden oluşan sarmal kompresörün çalışma ilkesi



Arşimet spirali

Arşimet spiralinin gerçek dünyada pek çok uygulaması vardır
Örneğin, Arşimet spirali şekilli ve birbirinin içine geçmiş aynı büyüklükteki iki sarmal, sıvı ya da gaz gibi akışkanları pompalamak ya da sıkıştırmak için kullanılan sarmal kompresörlerin temelini oluşturur Sarmallardan biri sabit dururken, diğeri kendi çevresinde dönmemek üzere merkez dışı (eksantrik) bir dönüş hareketi yapar ve akışkanı iki sarmalın duvarları arasında sıkıştırarak ilerletir

Gramofon plakların çok erken dönemlerinde, plak üzerindeki oluklar bir Arşimet spirali oluşturacak şekilde açılır ve bu şekilde, olukların birbirlerinden eş uzaklıkta durmaları sağlanarak, bir plağın üstüne en çok miktarda müzik kaydedilmeye çalışılırdı Ancak sonraları, daha iyi ses kalitesi elde edebilmek için bu uygulamadan vazgeçilmiştir

Kepler'in gezegensel hareket kanunları



Kepler'in ikinci kanunu

Kutupsal koordinatlar, Kepler'in gezegensel hareket kanunları için doğal bir ifade yöntemi sağlar
Kepler'in birinci kanununa göre, bir yıldız çevresindeki bir gezegenin yörüngesi, bir odağı sistemin kütle merkezinde oturan bir elipstir Bu elipsi ifade etmek için, yukarıdaki "Konik kesitler" bölümünde verilmiş olan denklem kullanılabilir
Kepler'in ikinci kanunu olan "eşit alanlar kanunu" ise şunu söyler: "bir gezegen ile onun yıldızını birleştiren bir doğru, eşit zaman aralıklarında birbirine eşit alanlar tarar"; yani, sabittir Bu denklemler Newton'un hareket kanunlarından elde edilebilir ve kutupsal koordinatların kullanıldığı tam bir türetme, Kepler'in gezegensel hareket kanunları maddesinde sunulmuştur