Matematik Sistemleri Nelerdir?

Matematik Sistemleri Nelerdir?

MATEMATİK SİSTEMLER
I İŞLEM
A TANIM
Bir kümenin herhangi iki elemanı bu kümenin elemanı olan ya da olmayan bir elemana götüren kurala ikili işlem veya kısaca işlem denir
İşlemler; + – : x D m q « gibi simgelerle gösterilir
B İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A = {a b c d} kümesinde 5 işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun
b 5 c nin sonucu bulunurken başlangıç sütununda b başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman b 5 c nin sonucudur Buna göre b 5 c = a dır
A kümesinde 5 ve « işlemleri tanımlanmış olsun Buna göre aşağıdaki
5 özeliği inceleyelim:
1 Kapalılık Özeliği
Her a b Î A için a 5 b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise A kümesi 5 işlemine göre kapalıdır
Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi 5 işlemine göre kapalıdır
2 Değişme Özeliği
Her a b Î A için a 5 b = b 5 a ise 5 işleminin değişme özeliği vardır
Tabloda tüm elemanlar köşegene göre simetrik olmalıdır
3 Birleşme Özeliği
Her a b c Î A için a 5 (b 5 c) = (a 5 b) 5 c ise 5 işleminin birleşme özeliği vardır
Tabloda bunu analayabilmek için tüm durumları incelemek gerekir Ama genelde değişme özeliği varsa birleşme özeliğide vardır
4 Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
Her x Î A için x 5 e = e 5 x = x ise e ye 5 işleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise 5 işlemine göre A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir
Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır
5 Ters Eleman Özeliği
5 işleminin etkisiz elemanı e olsun
” a Î A için a 5 b = b 5 a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına 5 işlemine göre a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir
b Î A ise 5 işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir
C MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A boş olmayan bir küme olmak üzere « işlemi A da tanımlı olsun
(A «) ikilisine matematik sistem denir
2 Grup
A ¹ Æ olmak üzere A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa A kümesi « işlemine göre bir gruptur
A « işlemine göre kapalıdır
A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır
A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır
Örneğin;
Doğal sayılar kümesi toplama işlemine göre bir sistem oluşturur
Bu sistem (N +) ile gösterilir
A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A «) sistemi değişmeli gruptur
II MODÜLER ARİTMETİK
A YENİ BİR TOPLAMA ÇEŞİDİ
Suat ile Servet; saat 11 de 6 saat sonra buluşmak üzere anlaşıyorlar Saat kadranı 12 bölmeli olduğu için Suat ile Servet buluştuğunda saat 5 i gösterir
Burada yapılan toplama tam sayılardaki toplamadan farklıdır Bu ve benzeri işlemler “Modüler Aritmetik” dalının konusudur
Burada 12 li saatte yeni bir toplama yapmış oluyoruz Bu toplamayı “Å” işaretiyle göstereceğiz
Bu işlemi şu şekilde yazabiliriz
11 + 6 = 17
Bu toplama işleminde 12 sayısına saat aritmetiğinin “modülü” veya kısaca “modu” denir
Bir sayının verilen modüle göre dengi bu sayının modüle bölümünden kalandır
Örnek 1
15 º 1 (mod 2)
35 º 3 (mod 4)
173 º 3 (mod 5)
1881 º 1 (mod 10) olur
a º b (mod m) ise
olur Yani a nın m ye bölümünden kalan ile b nin m ye bölümünden kalan eşittir
Örnek 2
92 º 22 (mod 5) tir Çünkü 92 nin ve 22 nin 5 ile bölümünden kalanlar eşittir
B YENİ BİR ÇARPMA ÇEŞİDİ
Bu çarpma türünde verilen sayılar çarpılır Çarpım mod’a bölünerek kalan bulunur Kalan bu iki sayının verilen mod’a göre çarpımı olur Çarpma işlemini “Ä” veya “” işaretiyle göstereceğiz
n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı
a º b (mod m)
x º y (mod m)
olmak üzere
a + x º b + y (mod m)
a – x º b – y (mod m)
a x º b y (mod m)
xn º yn (mod m)
k a º k b (mod m) olur
C GÜN BULMA
Örnek 3
Bir hemşire 9 günde bir nöbet tutmaktadır Bu hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tuttuğuna göre 53 nöbetini hangi gün tutar?
A) Pazar B) Salı C) Perşembe D) Cuma
Çözüm
Hemşire 9 günde bir nöbet tuttuğuna göre 53 nöbetini tutması için 51 9 gün geçmesi gerekir
53 Ä 9 º 4 Ä 2 º 1 (mod 7)
Hemşire ilk nöbetini çarşamba günü tutuğuna göre 7 nin katı olan günler yine çarşambaya rastgelir
Çarşamba
0
Perşembe
1
Cuma
2
…
Salı
6
olduğuna göre hemşire 53 nöbetini perşembe günü tutar
Cevap C
D DENKLİK SINIFI
Birbirine denk olan elemanların oluşturduğu kümelerin her birine “denklik sınıfları” denir Örneğin doğal sayıların 5 e bölündüğündeki kalanların kümesi (denklik sınıflarının kümesi);
{0 1 2 3 4} tür Modülü de 5 tir