Analitik Düzlem(Koordinat Düzlemi)..

**Prof. Dr. Sinsi** · 08-25-2012

1 Analitik Düzlem
Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir

Analitik düzlem

dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır

Dik koordinat sistemi

düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir

Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir

Analitik düzlemde her noktaya bir (x

y) sayı ikilisi karşılık gelir

Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir

y) noktası için

x noktanın apsisi

y de ordinatıdır

Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır

0) dır

x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır

A(a

o) noktası gibi

y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır

B(o

b) noktası gibi

Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar

I

Bölge: x > 0
y > 0
II

Bölge: x < 0
y > 0
III

Bölge: x < 0
y < 0
IV

Bölge: x > 0
y < 0

bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir

A(a

c) ve
B(a

b) noktaları için
|AB| = |c – b|

bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir

A(b

a) ve
B(c

a) noktaları için
|AB| = |c – b|

y1) ve B(x2

y2) noktaları arasındaki uzaklık |AB| biçiminde gösterilir

A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir

AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür

[AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir

Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık;

apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır

Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir

b) noktasının orijine uzaklığı

y1) noktası ile B(x2

y2) noktası veriliyor

[AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0

y0) noktası ise

[IMG]hhttp://img545

imageshack

us/img545/9982/geo1871

gif[/IMG]

dikdörtgen

paralelkenar

eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir

ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası

[BD] nin de orta noktasıdır

Buradan;
x1 + x3 = x2 + x4
y1 + y3 = y2 + y4

y1)

B(x2

y2) ve C(x3

y3) noktaları için

eşitliği vardır

Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir

m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse
n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir

Değişme miktarı artma yada azalma olabilir

Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir

Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir

m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse
n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir

5 Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları

ABC üçgeninin köşe koordinatları
A(x

1

y1)

B(x2

y2)

C(x3

y3) ve ağırlık merkezi G(xG

yG) ise ağırlık merkezi koordinatları:

y1)

B(x2

y2) ve C(x3

y3) olan ABC üçgeni veriliyor

sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir

(Mutlak değeri alınır

)
Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı

üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir

Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir
Bir üçgenin alanının sıfır çıkması köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir

08-25-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Analitik Düzlem(Koordinat Düzlemi).. 1 Analitik Düzlem Bir düzlemde dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sisteme analitik düzlem denir Analitik düzlem dik koordinat sistemi veya dik koordinat düzlemi olarak da adlandırılır Dik koordinat sistemi düşey eksen ise y ekseni (ordinat ekseni) dir Eksenlerin kesiştiği noktaya orijin denir Analitik düzlemde her noktaya bir (x y) sayı ikilisi karşılık gelir Bu sayı ikilisine noktanın koordinatları denir y) noktası için x noktanın apsisi y de ordinatıdır Apsis ve ordinat değerleri eksenlere çizilen dik doğruların eksenleri kestiği noktalardır 0) dır x ekseni üzerindeki noktaların ordinatı sıfırdır A(a o) noktası gibi y ekseni üzerindeki noktaların ise apsisi sıfırdır B(o b) noktası gibi Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar I Bölge: x > 0 y > 0 II Bölge: x < 0 y > 0 III Bölge: x < 0 y < 0 IV Bölge: x > 0 y < 0 bu iki noktanın ordinatları farkının mutlak değeridir A(a c) ve B(a b) noktaları için \|AB\| = \|c – b\| bu iki noktanın apsisleri farkının mutlak değeridir A(b a) ve B(c a) noktaları için \|AB\| = \|c – b\| y1) ve B(x2y2) noktaları arasındaki uzaklık \|AB\| biçiminde gösterilir A ve B noktalarının analitik düzlemdeki yerleri belirtildiğinde AKB dik üçgeni meydana gelir AKB dik üçgeninde [AB] hipotenüsdür [AK] dik kenar uzunluğu iki noktanın apsisleri farkı (x2 – x1) ve [BK] dik kenar uzunluğu iki noktanın ordinatları farkı (y2 – y1) dir Pisagor teoreminden iki nokta arası uzaklık; apsisleri farkı ise diğer dik kenarıdır Dik üçgenin hipotenüsü bize iki nokta arası uzaklığı verir b) noktasının orijine uzaklığı y1) noktası ile B(x2 y2) noktası veriliyor [AB] doğru parçasının ortasındaki nokta K(x0 y0) noktası ise [IMG]hhttp://img545imageshackus/img545/9982/geo1871gif[/IMG] dikdörtgen paralelkenar eşkenar dörtgen) karşılıklı köşelerin koordinatları toplamları eşittir ABCD paralelkenar olduğundan [AC] nin orta noktası [BD] nin de orta noktasıdır Buradan; x1 + x3 = x2 + x4 y1 + y3 = y2 + y4 y1) B(x2y2) ve C(x3y3) noktaları için eşitliği vardır Belli oranda bölen noktayı bulurken yukarıdaki eşitlikten faydalanarak aşağıdaki metod kullanılabilir m uzunluğunda (x2 – x1) kadar değişirse n uzunluğunda (x3 – x2) kadar değişir Değişme miktarı artma yada azalma olabilir Önemli olan noktaların aynı doğrultuda olması ve aynı yönde hareket etmektir Aynı şeyler ordinatlar için de geçerlidir m uzunluğunda (y2 – y1) kadar değişirse n uzunluğunda (y3 – y2) kadar değişir 5 Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları ABC üçgeninin köşe koordinatları A(x 1y1) B(x2y2) C(x3y3) ve ağırlık merkezi G(xGyG) ise ağırlık merkezi koordinatları: y1) B(x2y2) ve C(x3y3) olan ABC üçgeni veriliyor sonuç negatifte çıksa pozitif kabul edilir (Mutlak değeri alınır) Üç köşesinin koordinatları bilinen bir üçgenin alanı üçgen analitik düzlemde çizilerek de bulunabilir Köşe koordinatlarından herhangi ikisinin apsisleri yada ordinatları eşit ise üçgenin kenarlarından biri eksenlere paralel olur Bu durumda üçgenin alanı çizilerek de bulunabilir Bir üçgenin alanının sıfır çıkması köşe koordinatları olarak verilen üç noktanın doğrusal üç nokta olduğunu gösterir