Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri

**Prof. Dr. Sinsi** · 08-25-2012

Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri

Çemberin Analitik İncelenmesi

Analitik düzlemde aynı özellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur

Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır

Verilen bir eğrinin üzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya

o eğrinin denklemi denir

Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha çok dereceden olabilir

Çember denklemi de x ve y’ ye göre ikinci dereceden bir denklemdir

Çemberin Denklemi

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine

çember denir

Çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da çemberin denklemi diyoruz

Bir çember

merkezi ve yarıçapı ile belli olduğundan

analitik düzlemde merkezi m(a

b)

yarıçap uzunluğu r olan bir çemberin denklemini bulalım:
Çember üzerinde bir nokta P(x

y) ise

|MP|=r dir

İki nokta arasındaki uzaklık formülünden;
|MP|=(x-a)2+(y-b)2=r
(x-a)2+(y-b)2=r2
Bu bağıntıya

merkezinin koordinatları M(a

b)

yarı çapı r olan çemberin denklemi denir

Örnek:
Merkezinin koordinatları; M(-2

3) ve yarıçap uzunluğu

r=5 birim olan çemberin denklemini yazınız

Çözüm:

M(-2

3) = a=-2

b=3 ve r=5 brim ise

(x-y)2+(y-b)2 =r2 = (x+2)2(8y-3)2=25 bulunur

Merkezli Çemberin Denklemi

Bir çemberin merkezi orijinde ise

merkezin koordinatları M(0

0) dır

Yarıçap uzunluğu r

merkezi M(0

0) olan çemberin bu eğerleri

(x-a)2+(y-b)2=r2 denkleminde yerlerine yazılırsa

x2+y2=r2 denklemi elde edilir

Bu denkleme

yarıçap uzunluğu r olan merkezil çemberin denklemi denir

Örnek:
Bir merkezil çember üzerinde

herhangi bir nokta A(-3

4) ise

bu çemberin denklemini bulunuz

Çözüm:
Merkezil çemberin denklemi

x2+y2=r2 olduğundan

a(-3

4) noktası bu denklemi sağlar

Buna göre

x=-3 ve y=4 = (-3)2+42=r2
9+16 = r2 = r=5 bulunur

Öyleyse

aradığımız denklem x2+y2 = 25 bulunur

Merkezleri Eksenler Üzerinde veya Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri

1- Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:

a = 0 ve b = 0 dır

M(0

b) = (x-a)2 + y2 = r2 olur

2- Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi:

a = 0 ve b = 0 dır

M(0

b) = x2 + (y-b)2 = r2 olur

3- x eksenine teğet olan çemberin denklemi:

|b| = r ise M(a

r)

(x-a) 2+ (y-r)2 = r2 olur

y

M(a

r)

O a x

4- y eksenine teğet olan çemberin denklemi;

|a| = r ise

M(r

b)

(x-r)2 + (y-b)2 = r2 olur

y

b ----------
M(r

b)

x

5- Her iki eksene teğet çemberin denklemi:

Eksenlere I

ve III

bölgede teğet çemberlerin merkezleri

y=x denklemi ile verilen doğru (I

Açıortay) üzerinde; eksenlere II

ve IV

bölgede teğet çemberlerin merkezleri de denklemi y=-x olan doğru (II

açıortay ) üzerinde bulunur

y y
y=x

M1 M2

O x O x
M3 M4

y=-x

M1 (r

r) = (x-r)2 + (y-r)2 = r2 M2 (-r

r) = (x+r)2 + (y-r)2 = r2

M3 (-r

-r) = (x+r)2 + (y+r)2 = r2 M4 (r

-r) = (x-r)2 + (y+r)2 = r2

alıntı

08-25-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri Çemberin Analitik İncelenmesi Formülleri Çemberin Analitik İncelenmesi Analitik düzlemde aynı özellikteki noktalar birleştirilirse; bazen bir doğru bazen de bir eğri oluşur Her doğrunun bir denklemi olduğu gibi eğrilerin de denklemi vardır Verilen bir eğrinin üzerindeki her noktayı sağlayan bağlantıya o eğrinin denklemi denir Eğrilerin denklemleri ikinci ya da daha çok dereceden olabilir Çember denklemi de x ve y’ ye göre ikinci dereceden bir denklemdir Çemberin Denklemi Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktaların kümesine çember denir Çember üzerindeki tüm noktaların koordinatları arasındaki bağıntıya da çemberin denklemi diyoruz Bir çember merkezi ve yarıçapı ile belli olduğundan analitik düzlemde merkezi m(ab) yarıçap uzunluğu r olan bir çemberin denklemini bulalım: Çember üzerinde bir nokta P(xy) ise \|MP\|=r dir İki nokta arasındaki uzaklık formülünden; \|MP\|=(x-a)2+(y-b)2=r (x-a)2+(y-b)2=r2 Bu bağıntıya merkezinin koordinatları M(ab) yarı çapı r olan çemberin denklemi denir Örnek: Merkezinin koordinatları; M(-23) ve yarıçap uzunluğu r=5 birim olan çemberin denklemini yazınız Çözüm: M(-23) = a=-2 b=3 ve r=5 brim ise (x-y)2+(y-b)2 =r2 = (x+2)2(8y-3)2=25 bulunur Merkezli Çemberin Denklemi Bir çemberin merkezi orijinde ise merkezin koordinatları M(00) dır Yarıçap uzunluğu r merkezi M(00) olan çemberin bu eğerleri (x-a)2+(y-b)2=r2 denkleminde yerlerine yazılırsa x2+y2=r2 denklemi elde edilir Bu denkleme yarıçap uzunluğu r olan merkezil çemberin denklemi denir Örnek: Bir merkezil çember üzerinde herhangi bir nokta A(-34) ise bu çemberin denklemini bulunuz Çözüm: Merkezil çemberin denklemi x2+y2=r2 olduğundan a(-34) noktası bu denklemi sağlar Buna göre x=-3 ve y=4 = (-3)2+42=r2 9+16 = r2 = r=5 bulunur Öyleyse aradığımız denklem x2+y2 = 25 bulunur Merkezleri Eksenler Üzerinde veya Eksenlere Teğet Çemberlerin Denklemleri 1- Merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin denklemi: a = 0 ve b = 0 dır M(0b) = (x-a)2 + y2 = r2 olur 2- Merkezi y ekseni üzerinde olan çemberin denklemi: a = 0 ve b = 0 dır M(0b) = x2 + (y-b)2 = r2 olur 3- x eksenine teğet olan çemberin denklemi: \|b\| = r ise M(ar) (x-a) 2+ (y-r)2 = r2 olur y M(ar) O a x 4- y eksenine teğet olan çemberin denklemi; \|a\| = r ise M(rb) (x-r)2 + (y-b)2 = r2 olur y b ---------- M(rb) x 5- Her iki eksene teğet çemberin denklemi: Eksenlere I ve III bölgede teğet çemberlerin merkezleri y=x denklemi ile verilen doğru (I Açıortay) üzerinde; eksenlere II ve IV bölgede teğet çemberlerin merkezleri de denklemi y=-x olan doğru (II açıortay ) üzerinde bulunur y y y=x M1 M2 O x O x M3 M4 y=-x M1 (rr) = (x-r)2 + (y-r)2 = r2 M2 (-rr) = (x+r)2 + (y-r)2 = r2 M3 (-r-r) = (x+r)2 + (y+r)2 = r2 M4 (r-r) = (x-r)2 + (y+r)2 = r2 alıntı