Çokgen Çeşitleri Açı Ve Kenar Özellikleri

**Prof. Dr. Sinsi** · 08-25-2012

Çokgen Çeşitleri Açı Ve Kenar Özellikleri

Çokgen

düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir

1

İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

2

Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri

çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir

Çokgenlerin elemanları

A

B

C

D

E noktalarına çokgenin köşeleri denir

Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB]

[BC]

[CD]

[DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır

İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir

İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir

Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir

İç bükey çokgenler

Köşegenlerinin bazıları çokgenin içinde

bazıları dışındaysa bu iç bükey çokgendir

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri

Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir

•İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam
(n -2)

180°

•Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde
Dış açılar toplamı =360°

•Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin
köşegen sayısı=n(n-3)/2

•Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

•n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde

bir köşeden köşegenler çizilerek
(n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Düzgün Çokgenler

Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir

Düzgün Çokgenin Alanı

•n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı
Alan=n

a

r/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği)

•n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı
Alan=n

R²

sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur

Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6

a²√3/4 a

İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir

b

Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri

çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir

2

Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri a

İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı (n - 2)

180° Üçgen için (3 – 2)

180° = 180° Dörtgen için (4 – 2)

180° = 360° Beşgen için (5 – 2)

180° = 540° b

Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde

Dış açılar toplamı =360° c

Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir

· n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde

bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir

Beşgen

Bir beşgen

beş kenarı olan çokgendir

İç açıları toplamı 540°

dış açıların toplamı ise 360°'dir

Düzgün beşgenler

Düzgün beşgenler

her bir kenar uzunluğu birbirine eşit olan beşgenlerdir

Bu tür beşgenlerin çevresini bulabilmek için

kenar uzunluklarından birinin bilinmesi yeterlidir

Alan hesabında ise aşağıdaki formül kullanılır;

Altıgen

Bir altıgen

altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir

Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır

Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir

Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir

Kenarı aa olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir

İç açıları toplamı (n-2)

180'dir

Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 60 derecedir

uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı

bir kenarı
Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir

Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise;
Taban Alanı =
ve Hacim =
olacaktır

Yedigen

Bir yedigen

yedi kenarı olan çokgendir

7'nin bir asal sayı olması nedeniyle

yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir

Yedigen'in alanı

Düzgün bir yedigenin alanı aşağıdaki formülle bulunur

Sekizgen
Bir sekizgen

sekiz kenarı olan çokgendir

İç açıları toplamı: 6

180=1080 derecedir

1080:8=135 derece olur

Dokuzgen
Bir dokuzgen

dokuz kenarı olan çokgendir

Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir

Ongen
Bir ongen

on açısı ve on kenarı olan çokgendir

Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır

Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür

Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır

Çemberde Ongen Çizimi

1) Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz

2) Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz

3) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A)

4) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz

5) Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur

6) Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak

Kapanmayacak

Aynı Kalacak Şekilde)
7) Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz

08-25-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Çokgen Çeşitleri Açı Ve Kenar Özellikleri Çokgen Çeşitleri Açı Ve Kenar Özellikleri Çokgen düzlemde birbirinden farklı ve herhangi üçü doğrusal olmayan n tane (n ³ 3) noktayı ikişer ikişer birleştiren parçalarının oluşturduğu kapalı şekillerdir 1İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir 2Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir Çokgenlerin elemanları A B C D E noktalarına çokgenin köşeleri denir Komşu ikiköşeyi birleştiren [AB] [BC] [CD] [DE] ve [EA] doğruparçaları çokgenin kenarlarıdır İç bölgede kenarlar arasında oluşan açılara çokgenin iç açıları denir İç açılara komşu ve bütünler olan açılara çokgenin dış açıları denir Köşeleri birleştiren kenarlar haricindeki doğru parçalarına köşegen adı verilir İç bükey çokgenler Köşegenlerinin bazıları çokgenin içinde bazıları dışındaysa bu iç bükey çokgendir Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri Köşegenlerinin tamamı çokgenin iç bölgesinde ise o çokgen dış bükey çokgendir •İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplam (n -2) 180° •Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde Dış açılar toplamı =360° •Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin köşegen sayısı=n(n-3)/2 •Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir •n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir Düzgün Çokgenler Tüm kenarları ve tüm açıları eşit olan çokgenlere düzgün çokgenler denir Düzgün Çokgenin Alanı •n kenarlı düzgün çokgenin bir kenarı a ve içteğet yarıçapı r ise alanı Alan=nar/2 (r= içteğet çember merkezi ile iki köşenin oluşturduğu üçgenin yüksekliği) •n kenarlı bir düzgün çokgende bir kenarı gören merkez açı(Bu açı aynı zamanda dış açıdır) α=360/n ve çevrel çemberin yarıçapı R ise çokgenin alanı Alan=nR²sinα/2 Ör: Düzgün bir altıgen altı tane eşkenar üçgenden oluşur Bir kenarına a dersek alanı hesaplama formülü şudur: Alan=6a²√3/4 a İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir b Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere denir 2 Dışbükey Çokgenlerin Özellikleri a İç açılar toplamı: Dış bükey bir çokgenin n tane kenarı var ise iç açılarının toplamı (n - 2) 180° Üçgen için (3 – 2) 180° = 180° Dörtgen için (4 – 2) 180° = 360° Beşgen için (5 – 2) 180° = 540° b Dış açılar toplamı: Bütün dışbükey çokgenlerde Dış açılar toplamı =360° c Köşegenlerin sayısı: n kenarlı dışbükey bir çokgenin Bir köşeden (n – 3) tane köşegen çizilebilir · n kenarlı dışbükey bir çokgenin içerisinde bir köşeden köşegenler çizilerek (n – 2) adet üçgen elde edilebilir Beşgen Bir beşgen beş kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı 540° dış açıların toplamı ise 360°'dir Düzgün beşgenler Düzgün beşgenler her bir kenar uzunluğu birbirine eşit olan beşgenlerdir Bu tür beşgenlerin çevresini bulabilmek için kenar uzunluklarından birinin bilinmesi yeterlidir Alan hesabında ise aşağıdaki formül kullanılır; Altıgen Bir altıgen altı kenarı ve altı köşesi olan çokgendir Ayrıca kenarları ve iç açıları eşitse düzgün altıgen olarak adlandırılır Düzgün altıgenin iç açılarının her biri 120°'dir Düzgün altıgen altı eşkenar üçgenden oluştuğu için alanı ve çevresi kolayca bulunabilir Kenarı aa olan bir eşkenar üçgenin alanının 6 katına eşittir İç açıları toplamı (n-2) 180'dir Dolayısıyla her bir iç açısının ölçüsü 60 derecedir uzunlukta olan düzgün bir altıgenin alanı bir kenarı Altıgen tabanlı prizmanın hacmi ise her prizmatik cismin olduğu gibi taban alanı ile yüksekliğinin çarpımına eşttir Düzgün altıgen prizmanın bir kenarı a ve yüksekliği h ise; Taban Alanı = ve Hacim = olacaktır Yedigen Bir yedigen yedi kenarı olan çokgendir 7'nin bir asal sayı olması nedeniyle yedigenlerin de her köşesinden bir köşegen geçmemektedir Yedigen'in alanı Düzgün bir yedigenin alanı aşağıdaki formülle bulunur Sekizgen Bir sekizgen sekiz kenarı olan çokgendir İç açıları toplamı: 6180=1080 derecedir 1080:8=135 derece olur Dokuzgen Bir dokuzgen dokuz kenarı olan çokgendir Bir düzgün dokuzgende bir iç açı 140 derecedir Ongen Bir ongen on açısı ve on kenarı olan çokgendir Ongenin İç Açıları Toplamı 1440'dır Düzgün Ongenin Bir İç Açısı 144'tür Ongenin dış açıları toplamı ise 360'tır Çemberde Ongen Çizimi 1) Öncelikle 4 Cm Yarıçaplı Bir Çember Çiziyoruz 2) Daha Sonra Dik Kesişen Bir Çap Daha Çiziyoruz 3) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktayı Bulup Adlandırıyoruz (Örneğin: A) 4) Ardından Yarıçapın Ortasındaki Noktaya Pergelimizin Ucunu Batırıp Dik Kesiştirdiimiz Diğer Çapın Üstteki Noktası Kadar Açıyoruz Ve Alttaki Çapa Kadar Bir Yay Çiziyoruz 5) Çizdiğimiz Yayın Çap İle Birleştiği Noktadan Merkeze Kadar Olan Bölge Ongenin Bir Kenar Uzunluğudur 6) Bulduğumuz Kenar Uzunluğu Kadar Pergelimizi Açıp Sağdaki Noktadan Yayları Çizmeye Başlıyoruz(Pergel Kesinlikle Açılmayacak Kapanmayacak Aynı Kalacak Şekilde) 7) Çizdiğimiz Yayların Noktalarını Cetvel İle Birleştirip Ongen Elde Ediyoruz