Mutlak Değer Ve özellikleri

MUTLAK DEĞER ÖZELLİKLLERİ

VE

İŞLEVLERİ


Tanım:Sayı doğrusu üzerinde x sayısının sıfıra olan uzaklığına x in mutlak değeri denir ve x ile gösterilir

x , R nin elemanıdır ve

x ={x, x > 0 ise

{-x,x < 0 ise

şeklinde tanımlanır

f(x) ={f(x),f(x) > 0 ise

{-f(x),f(x)< 0 ise

1) Örnek: x =-3 için x-5 - x+2 ifadesinin eşiti kaçtır?


Çözüm: -3-5 - -3+2 = 8-1=7

2) Örnek: a a+b - a-b ifadesinin eşiti nedir?


Çözüm: a+b - a-b = -(a+b)- -(a-b)

=-a-b+a-b

=-2b


ÖZELLİKLERİ


V a,b elemandır R için

1) a > 0 dır

2) a = -a

3) - a < a < a

4) ab = a b

5) b= 0 için a/b = a / b

6) a+b < a + b (üçgen eşitsizliği)

7) n elemanıdır Z* olmak üzere a^ = a ^

8) a > 0,x elemanıdır R ve x < a ise -a 9) a > 0,x elemanıdır R, x > a ise x > a veya x < -a dır


10) IaI-IbI < Ia+bI

11)I-aI=IaI, Ia-bI=Ib-aI

12)IaI IaI = a a

13)I f(x) I = a ise f(x )= a veya f(x) = -a

14)I f(x) I < a ise -a< f(x) < a

15)I f(x) I > a ise f(x) > a U -f(x) > a


İSPATLAR

Öz1)a = 0 ise IaI = I0I = 0

a > 0 ise IaI = a >0

a < 0 ise IaI = -a >0 dır

O halde IaI > 0 dır

Öz2)a ve -a sayılarının 0 dan uzaklıkları eşit olduğundan IaI=I-aI dır

Öz6)V a elemanıdır R için -IaI < a < IaI

V b elemanıdır R için -IbI < b< IbI

+

-IaI-IbI< a+b O halde Ia+bI < IaI+IbI dir

Öz7)V a,b elemanıdır R için IabI=IaIIbI idi

Ia^I=IaaaaI=IaIIaIIaIIaI=IaI^ dir

(n tane) ( n tane )

Öz3)a sayısı için a<0,a=0,a>0 durumlarından biri vardır

a)a < 0 ise IaI = -a dır

IaI > 0 olduğundan -IaI < 0 dır

-IaI= a <0 < IaI ise -IaI < a < IaI dır

b)a=0 ise IaI = I0I = 0 ve -Ia I= 0 olacağından ?IaI < a < IaI dır

c)a > 0 ise IaI = a ve -IaI < 0 dır

-IaI< 0 < IaI = a ise -IaI < a < IaI dır


MUTLAK DEĞERLİ DENKLEMLER

Soru: I3x-7I = 5 denklemini çözünüz

Çözüm:I3x-7I = 5 ise; 3x-7 = 5 veya 3x-7 = -5 olur

1- 3x-7 = 5 2- 3x-7=-5

3x = 12 3x = 2

x = 4 x = 2/3

Ç={4,2/3}