İspat Çözümü...

İSPAT TEKNİKLERİ :: Matematikte teoremler ve önermeler kendilerine özgü bir iç estetiğe sahip ispatlara dayanır Zaten matematiği ispat ve ispat tekniklerinden ayrı olarak düşünmek mümkün değildir Bu sebeple Matematikçe sitemin bu bölümünü ispat tekniklerine ayırmak istedim Çeşitli ders notlarımdan ve kitaplardan derlediğim bu çalışmayı lise düzeyinde bilgiye sahip bir öğrencinin anlayabileceği seviyeye getirerek, üniversite hayatına yeni atılacak olan gençlerin de bu heyecanı yaşamasını hedefledim İspat tekniklerini genel olarak dört ana başlık altında toplayabiliriz: 1 Doğrudan İspat 2 Ters Durum İspatı 3 Olmayana Ergi (Çelişki) yöntemi 4 Tümevarım ile ispat Şimdi bu teknikleri açıklama ve örnekleriyle birlikte inceleyelim :: 1 - Doğrudan İspat : En bilinen ve kolay ispat tekniklerinden biridir Bu ispat tekniğinde, bize teorem veya önerme içinde verilen şartlar aynen alınıp gösterilmek istenen sonuca ulaşılmaya çalışılır Yani bilinen veya bize teoremde verilen bilgileri kullanarak istenilen sonuca ulaşmaya çalışacağımız tekniktir Bu teknik genel olarak; P -- Q (P ise Q) Şeklinde gösterilir P hipotezinin (sol tarafın) doğru olduğu kabul edilerek, sağ tarafın (Q nun) doğruluğu elde edilir Örnek 1 : Bir tek ve bir çift tamsayının toplamı tektir İspat 1 : Önce m ve n gibi iki tane tamsayı ele alalım Açıklamada da belirildiği gibi bunlardan birinin tek, diğerinin çift olduğunu kabul ederek, toplamlarının tek olduğunu göstereceğiz Mesela m tek ve n de çift olsun m+n nin tek olduğunu göstereceğiz m tek ve n de çift olduğundan; m = 2a + 1 n = 2b olacak şekilde öyle a ve b tamsayıları vardır Yani tüm tek sayıları 2a+1 ve tüm çift sayıları 2b şeklinde yazabiliriz Bizden m+n isteniyordu m + n = 2a + 1 + 2b = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 olur a ve b tamsayı olduğundan a + b de bir tamsayıdır ve a + b ye k gibi bir tamsayı dersek; m + n = 2(a + b) + 1 = 2k + 1 olur Yani m + n = 2k + 1 şeklinde yazılabilir Öyleyse m + n tek sayı olmalıdır İspat tamamlanır Örnek 2 : Bir tamsayı 6 ile bölünebilirse, 2 katı 4 ile bölünebilir İspat 2 : Bir a tamsayısını ele alalım 6 ile bölünebildiğini kabul edelim O zaman k bir tamsayı olmak üzere a=6k şeklinde yazılabilir (Yani 6 ile bölünebiliyorsa k gibi bir tamsayının 6 katı olacaktır) Bunun 2 katı 4 ile bölünebilir mi diye bakacağız 2 katını alırsak; 2a = 26k = 12k olur Biz 12 yi aynı zamanda 43 olarak da yazabiliriz O zaman; 2a = 12k = (43)k = 4(3k) olur k bir tamsayı olduğundan 3k da bir tamsayı olacaktır Dolayısıyla buna m gibi bir tamsayı dersek; 2a = 4(3k) = 4m olur Bu da bize 2a nın, 4 ün bir katı olduğunu yani 4 ile bölünebildiğini gösterir Böylece ispat tamamlanır Bu tür önermeleri doğrudan ispat tekniğini kullanarak görüldüğü gibi ispatlayabiliriz Bu ispat tekniği kolay olmasın