Olasılık

Matematik Çalışma Kağıdı İçin TIKLA


Olasılık Konu Anlatım Videosunu İzlemek İçin TIKLA


OLASILIK NEDİR?


Çıktı: Bir deneyde elde edilecek sonuçların herbirine denir


Evrensel küme: Çıktıların oluşturduğu kümeye evrensel küme denirEvrensel kümeye her eleman 1 kez yazılır KAHRAMANMARAŞ kelimesinin harflerini inceleyelim

E=(K,A,H,R,M,N,Ş) s(E)=7


Örnek uzay: Bir deneyde gelebilecek çıktılar kümesine denirHerbir çıktı ayrı ayrı yazılır

Ö=(K,A,H,R,A,M,A,N,M,A,R,A,Ş)


Olay: Örnek uzayın herbir alt kümesine bir olay denirYani olması istenen çıktıların kümesine denir

K olma olayı (K) 1 elemanlı

A olma olayı (A,A,A,A,A) 5 elemanlı


Bağımlı olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştiriyorsa bu olaylara bağımlı olaylar denir


Bağımsız olaylar: İki olaydan herhangi birinin gerçekleşmesi diğer olayın olma olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylara bağımsız olaylar denir[Sadece kayıtlı kullanıcılar linkleri görebilir ÜCRETSİZ Kayıt olmak için tıklayın]


Kesin olay: Gerçekleşmesi kesin olan olaylara denir o(A)=1 olan olaylardır

Örneğin sınava çalışmayan bir öğrencinin sınavdan kötü not alması kesin bir olaydır


İmkansız olay: Gerçekleşmesi mümkün olmayan olaylara denir o(A)=0 olan olaylardır Örneğin balığın kavağa çıkması imkansız bir olaydır


Olasılık: P(A)=S(A) / S(E)

Bir olayın olasılığı=istenilen durumların sayısı / tüm durumların sayısı

p(A)=0 ise imkansız olay=gerçekleşmesi mümkün değil

P(A)=1 ise kesin olay=gerçekleşmesi kesin

Herhangi bir olayın olmama olasılığı:

P'(A) = 1 - P(A)


Örnek: Ö=(M,A,R,M,A,R,A) s(Ö)=7

çekilen bir harfin A olma olasılığı O(A)=3/7

çekilen bir harfin A olmama olasılığı O(A')=1-3/7=4/7

Bağımsız olay:

Birbirlerini etkilemiyorlarsa(para-zar)

P(A Ç B)= P(A) P(B)


örnek: Para ile zar aynı anda atılıyorParanın yazı, zarında 3 gelmesi olasılığı kaçtır?

P(A Ç B)= 1/2 1/6 = 1/12


Ayrık iki olayın birleşiminin olasılığı:

P(AUB)= P(A) + P(B)


örnek: Bir kutuda 1'den 10'a kadar numaralandırılmış 10 kart vardırKutudan rastgele seçilen bir kartın 2 veya 8 numaralı kart olması olasılığı kaçtır?

P(AUB)= 1/10 + 1/10 = 2/10 = 1/5


Ayrık olmayan iki olayın birleşiminin olasılığı:

P(AUB)= P(A) + P(B) - P(A Ç B)


örnek: Atılan bir zarın üst yüzeyine gelecek sayıların 3'ten büyük veya çift gelme olasılığını bulunuz?

E=(1,2,3,4,5,6)

A=(4,5,6)

B=(2,4,6)

A Ç B=(4,6)

P(AUB)= 3/6 + 3/6 - 2/6 = 4/6 = 2/3



Problem: Okan, alfabemizdeki bütün harfleri aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazarak boş bir kutuya atmıştır Emel, kutudan rasgele bir kâğıt çekmiştir

Çekilen kâğıtta ünlü harf olma olasılığı nedir?

Deney: Eş özelliklere sahip kâğıt üzerine yazılmış olan alfabemizdeki harflerden birinin seçilmesi

Örnek uzay:

O={alfabemizdeki tüm harfler} veya

Ö={a,b,c,ç,d,e,f,g,ğ,h,ı,i,j,k,l,m,n,o,ö,p,r, s,ş,t ,u,ü,v,y,z}, s(Ö)=29

Olay:

H={bir ünlünün çekilmesi}veya H={a,e,ı,i,o,ö,u,ü},

s(H)=8

Olayın çıktıları:

a, e, ı, i, o, ö, u, ü

Eş olasılıklı olma: Her bir harfin çekilme olasılığı eşittir



Evrensel kümede her bir eleman bir kez yazılır fakat örnek uzayda çıktılar kaç tane ise o kadar yazılır


Örnek:


a ?MATEMATİK? kelimesinin harflerinden oluşan evrensel küme: E={M, A, T, E, İ, K}


b ?Matematik? kelimesinin her bir harfi aynı özelliklere sahip kâğıt parçalarına yazılarak torbaya atılmıştır

?Bakmadan bir kâğıt çekildiğinde çıkan harfin ?A? olma olasılığı nedir?? sorusundaki örnek uzay:

Ö={M, A, T, E, M, A, T, İ, K}



OLASILIK ÇEŞİTLERİ NELERDİR?


Deneysel olasılık: Bir olasılık deneyi sonunda hesaplanan olasılığa denir Bu olasılıkta deneyin yapıldığı problemin içinde geçer, problemi okuduğunuzda bir şeyler yapıldığını anlar, verileri görürsünüz


örnek: Hileli bir zar 20 kez atıldığında 3 kez 1, 2 kez 2, 3 kez 3, 2 kez 4, 3 kez 5 ve 7 kez 6 geliyor Buna göre bu zar atıldığında 5 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 3/20


Teorik olasılık: Bir olasılık deneyinden teorik olarak beklenen olasılığa denirGenelde şimdiye kadar karşılaştığımız problem tipleridirİstenen durumların sayısını tespit edip tüm durumlara böleriz


örnek: Bir zar atıldığında 3 gelme olasılığı kaçtır? cevap: 1/6


Öznel olasılık: Kişilerin kendi düşüncelerine göre karar verdikleri olasılıklara denirBu tip problemlerde kişilerin ismi ve tahmini yer alır


örnek: 25 yumurtadan bazıları çift sarılıdırAli'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 10/25=0,4'tür Ayşe'ye göre alınacak bir yumurtanın çift sarılı olma olasılığı 15/25=0,6'dır