Cevap : Genel Mezopotamya

Örneğin, birinci tipte x+y=b, xy=c denklem sisteminde x ile y dikdörtgenin kenarlarını temsil ederse, xy de alanı göstereceğinden, bu tip denklemlerin söz konusu olduğu problemler, bir dikdörtgenin iki kenar toplamı ile alanının değerlerine dayanılarak kenarların bulunmasını isteyen problemlerdir
İkinci tipte ise, x-y=b, xy=c sisteminde, iki kenar farkı ve alan verilmekte, kenarların ayrı ayrı değerlerinin bulunması istenmektedir Üçüncü tip olan x+y=b, x2+y2=c sisteminde, iki kenar toplamı ile köşegenin karesi bilinmekte ve kenarlar aranmaktadır

Beşinci tip olan x+y=b, x2-y2=c sisteminde x bilinmeyeni köşegeni, y bilinmeyeni ise bir kenarı temsil ederse, x2-y2 ifadesi bir kenarın karesini verir, bir kenar ile köşegenin toplamı ve bir kenarın karesi aracılığıyla kenarlar istenmektedir

Bu geometrik yorum ışığında, aslında geometrik bir mahiyet taşıyan problemlerin cebir kıyafetine bürünmüş olduğu, bunların cebirsel bir problem şeklinde sunuldukları düşünülebilir Ayrıca, denklem çözümleri genellikle analitik yoldan bulunmakla birlikte, geometri yardımıyla denklem çözümüne hiç değilse bir örnek vardır Bu durumda, Mezopotamya cebirinin en eski dönemlerde geometri ile kuvvetli bağları olduğunu, bu cebirin Pitagorcular yoluyla Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinin devamıyla da Diofantos’ta karşılaşıldığını bir faraziye olarak ileri sürmek mümkün olabilir

Dokuz tipten sadece 7, 8 ve 9tipler, önceki tipler için düşünülen geometrik yorumlama dışında kalmaktadır Zaten Mezopotamyalılar’da, 7, 8tiplere az rastlanmakta, Gandz’a göre 9tipe ise hiç rastlanmamaktaydı Bunun sebebinin ise, x2+c=bx denkleminin iki çözümünün olması düşünülebilir

Mezopotamyalılar çift değerli çözümü yadırgamaktaydı Aynı bir bilinmeyenli için örneğin bir defasında 5 ve bir defasında da 7 bulunması bir tereddüt yaratmıştır Gandz’a göre x2+c=bx denkleminin çift çözümü, 1 tipteki x ve y çözümlerine bağlanabilir Abdülhamid ibn Türk ve Hârezmî cebirinde bu münasebet bilinmekte olmasına rağmen, çift çözüme bir tereddüt duyulmaması, x2+c=bx denklemi 1 tipten müstakil, kendi başına düşünüldüğünde dahi, iki çözüm çıkması sebebinin bir açıklanmaya bağlanması ile ilgiliydi Bu açıklama, geometrik çözüm metoduna dayanıyordu Kullanılan geometrik çözüm metodu, hem bu denklemin çift çözümü olmasını hem de diğer iki denklemin yani x2+bx=c ve x2=bx+c denklem tiplerinin birer çözümlü oluşunu izah edebiliyordu

Tabletlerde karşılaşılan örneklerden görüldüğü gibi, denklemler ilkin standart tiplerden birine ve özellikle de ilk tiplere dönüştürülüyor, sonra çözümleri veriliyordu Denklemlerin daha basit hale getirilerek standart tiplere dönüştürme işinde çeşitli metotlar kullanmışlardır Bu metotlardan bir tanesi, yardımcı bilinmeyen kullanılmasıdır Örneğin x+y=27, xy+(x-y)=183 şeklindeki problemi göz önüne alalım Burada x ile y bir dikdörtgenin kenarlarıdır Xy ise dikdörtgenin alanıdır Alana iki kenar farkı eklendiğinde 183 bulunuyor Çözüm adımları şöyle: x+y+xy+(x-y)=183+27=210, xy+2x=210, bu safhada bir y’ yardımcı bilinmeyeni işe karışmakta, y’=y+2, xy’=x(y+2)=xy+2x=210, x+y’=x+y+2=27+2=29 Böylece xy’=210 ve x+y’=29 şeklinde iki yeni denklem elde edilmekte, bu denklemler ise 1tipteki denklem sistemidir Bu şekilde, yardımcı bilinmeyen kullanılarak eldeki denklem 1tipe dönüştürülmüş oldu Bir diğer örnekte z=(x-y)/2 yardımcı bilinmeyeni kullanılmıştır

Yine, örneğin ax2+bx=c gibi bir denklemi çözmek için önce bu denklemi x2+(b/a)x şekline sokmamışlar, denklemin terimlerini kareli terimin katsayısı ile çarparak a2x2+bax=ca şekline sokmuşlardır Z=ax yardımcı bilinmeyenini kullanarak denklemi (ax)2+b(ax)=z2bz=ca şekline dönüştürmüşlerdir Bu da standart tiplerin 7sine tekabül etmektedir

Tabletlerde standart tiplerin çözümleri açıklanmamaktadır Bunların bilindiği gibi farz edilerek işlem adımları yapılmaktadır Diofantos’un Mezopotamya cebirinden etkilendiği açık biçimde anlaşıldığından, bazı araştırıcılar, denklem tiplerinin çözümlerinin de Diofantos’a benzer yoldan yapıldığına inanmışlardır Örneğin, x+y=b, xy=c tipini alalım Gandz’a göre bu tipin çözümü için, Diofantos’ta olduğu gibi x-y=2z bağıntısıyla (belirlenen)

__________________