KPSS Matematik Bölme ve Bölünebilme Kuralları

**Şengül Şirin** · 11-17-2009

KPSS Matematik Bölme ve Bölünebilme Kuralları

coverattach=1]Bölme
A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere,

matka04

gif

bölme işleminde,

A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir

A = B

C + K dır

Kalan, bölenden küçüktür

(K < B)

Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün © yeri değiştirilebilir

K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir

B

BÖLÜNEBİLME KURALLARI
1

2 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür

Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir

2

3 İle Bölünebilme

Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür

Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir

3

4 İle Bölünebilme

Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür

abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir

l

abc sayısının 4 ile bölümünden kalan

c + 2

b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir

4

5 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür

Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir

5

7 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan-1

a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için,

k Î Z olmak üzere,

(a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +

= 7k

olmalıdır

Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2,

olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) +

işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir

6

8 İle Bölünebilme

Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür

3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür

Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a,

olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2

b + 4

a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir

7

9 İle Bölünebilme

Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür

Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir

8

10 İle Bölünebilme

Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir

Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır

9

11 İle Bölünebilme

(n + 1) basamaklı anan–1

a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

(a0 + a2 + a4 +

) – (a1 + a3 + a5 +

)

= 11

k

ve k Î Z olmalıdır

® (n + 1) basamaklı anan–1

a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan

(a0 + a2 + a4 +

) – (a1 + a3 + a5 +

)

işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir

Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür

2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür

3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür

C

BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ
A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere,

A nın C ile bölümünden kalan K1 ve

B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun

Buna göre,

A

B nin C ile bölümünden kalan K1

K2 dir

A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir

D

A nın C ile bölümünden kalan D

K1 dir

AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir

Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur

D

ÇARPANLAR İLE BÖLÜM
Bir A doğal sayısı B

C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir

Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B

C ile tam bölünür

) her zaman doğru değildir

144 sayısı 2

6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür

6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür

Fakat 6 sayısı 2

6 = 12 ile tam bölünemez

E

BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ
Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir

a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere,

A = a^m

b^n

c^k olsun

A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir

A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1)

(n + 1)

(k + 1) dir

A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir

A sayısının tam sayı bölenleri sayısı:

2

(m + 1)

(n + 1)

(k + 1) dir

A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır

A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı :

A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur

A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir

A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı:

A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı:

Kaynak:kpsscafe

11-17-2009	#1
Şengül Şirin	KPSS Matematik Bölme ve Bölünebilme Kuralları KPSS Matematik Bölme ve Bölünebilme Kuralları coverattach=1]Bölme A, B, C, K birer doğal sayı ve B ¹ 0 olmak üzere, matka04gif bölme işleminde, A ya bölünen, B ye bölen, C ye bölüm, K ya kalan denir A = B C + K dır Kalan, bölenden küçüktür (K < B) Kalan, bölümden (C den) küçük ise, bölen (B) ile bölümün © yeri değiştirilebilir K = 0 ise, A sayısı B ile tam bölünebiliyor denir B BÖLÜNEBİLME KURALLARI 1 2 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı çift olan sayılar 2 ile tam bölünür Tek sayıların 2 ile bölümünden kalan 1 dir 2 3 İle Bölünebilme Rakamlarının sayısal değerleri toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile tam bölünür Bir sayının 3 ile bölümünden kalan, rakamlarının toplamının 3 ile bölümünden kalana eşittir 3 4 İle Bölünebilme Bir sayının onlar basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın (son iki basamak) belirttiği sayı, 4 ün katı olan sayılar 4 ile tam bölünür abc sayısının 4 ile bölümünden kalan bc nin (son iki basamak) 4 ile bölümünden kalana eşittir l abc sayısının 4 ile bölümünden kalan c + 2 b nin 4 ile bölümünden kalana eşittir 4 5 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakam 0 veya 5 olan sayılar 5 ile tam bölünür Bir sayının 5 ile bölümünden kalan, o sayının birler basamağındaki rakamın 5 ile bölümünden kalana eşittir 5 7 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan-1 a4a3a2a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için, k Î Z olmak üzere, (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + = 7k olmalıdır Ü Birler basamağı a0, onlar basamağı a1, yüzler basamağı a2, olan sayının 7 ile bölümünden kalan (a0 + 3a1 + 2a2) – (a3 + 3a4 + 2a5) + işleminin sonucunun 7 ile bölümünden kalana eşittir 6 8 İle Bölünebilme Yüzler basamağındaki, onlar basamağındaki ve birler basamağındaki rakamların (son üç rakamın) belirttiği sayı 8 in katı olan sayılar 8 ile tam bölünür 3000, 3432, 65104 sayıları 8 ile tam bölünür Ü Birler basamağı c, onlar basamağı b, yüzler basamağı a, olan sayının 8 ile bölümünden kalan c + 2 b + 4 a toplamının 8 ile bölü-münden kalana eşittir 7 9 İle Bölünebilme Rakamlarının toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile tam bölünür Bir sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamlarının toplamının 9 ile bölümünden kalana eşittir 8 10 İle Bölünebilme Birler basamağındaki rakamı 0 (sıfır) olan sayılar 10 ile tam bölünebilir Bir sayının birler basamağındaki rakam o sayının 10 ile bölümünden kalandır 9 11 İle Bölünebilme (n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için (a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) = 11 k ve k Î Z olmalıdır ® (n + 1) basamaklı anan–1 a4a3a2a1a0 sayı-sının 11 ile bölümünden kalan (a0 + a2 + a4 + ) – (a1 + a3 + a5 + ) işleminin sonucunun 11 ile bölümünden kalana eşittir Aralarında asal iki sayıya bölünebilen bir sayı, bu iki sayının çarpımına da tam bölünür 2 ve 3 ile tam bölünen sayılar 6 ile de bölünür 3 ve 4 ile tam bölünen sayılar 12 ile de bölünür C BÖLEN KALAN İLİŞKİSİ A, B, C, D, E, K1, K2 uygun koşullarda birer doğal sayı olmak üzere, A nın C ile bölümünden kalan K1 ve B nin C ile bölümünden kalan K2 olsun Buna göre, A B nin C ile bölümünden kalan K1 K2 dir A ± B nin C ile bölümünden kalan K1 ± K2 dir D A nın C ile bölümünden kalan D K1 dir AE nin C ile bölümünden kalan K1E dir Burada kalan değerler bölenden (C den) büyük ise, tekrar C ile bölünerek kalan bulunur D ÇARPANLAR İLE BÖLÜM Bir A doğal sayısı B C ile tam bölünüyorsa A sayısı B ve C doğal sayılarıyla da bölünebilir Fakat bu ifadenin karşıtı (A sayısı B ile ve C ile tam bölünüyorsa A sayısı B C ile tam bölünür) her zaman doğru değildir 144 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünür ve 144 sayısı 2 ile ve 6 ile de tam bölünür 6 sayısı 2 ile ve 6 ile tam bölünür Fakat 6 sayısı 2 6 = 12 ile tam bölünemez E BİR TAM SAYININ TAM BÖLENLERİ Bir tam sayının, asal sayıların çarpımı biçiminde yazıl-masına bu sayının asal çarpanlarına ayrılması denir a, b, c birbirinden farklı asal sayılar ve m, n, k pozitif tam sayılar olmak üzere, A = a^m b^n c^k olsun A yı tam bölen asal sayılar a, b, c dir A sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısı: (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir A sayısının pozitif tam bölenlerinin ters işaret-lileri de negatif tam bölenidir A sayısının tam sayı bölenleri sayısı: 2 (m + 1) (n + 1) (k + 1) dir A sayısının tam sayı bölenleri toplamı 0 (sıfır) dır A sayısının pozitif tam bölenlerinin toplamı : A sayısının asal olmayan tam sayı bölenlerinin sayısı, A nın tam sayı bölenlerinin sayısından A nın asal bölenlerinin sayısı çıkarılarak bulunur A nın asal olmayan tam sayı bölenleri toplamı – (a + b + c) dir A sayısından küçük A ile aralarında asal olan sayıların sayısı: A sayısını pozitif tam sayı bölenlerinin çarpımı: Kaynak:kpsscafe __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır