Basit Harmonik Hareket

**Şengül Şirin** · 10-31-2009

Basit harmonik hareket yapan cismin konum, hız, ivme değerlerini bulmak için dairesel hareketten yararlanılır

Dairesel hareketin vektörlerinin yatay bileşenleri x ekseni üzerinde ki cismin hareketine aittir

Benzer şekilde dairesel hareket yapan cismin konum, hız, ivme vektörlerinin düşy (y) bileşenini bulursak, y ekseninde hareket eden cismin konum, hız, ivme vektörlerini buluruz

x ve y eksenlerinde basit harmonik hareket yapan cisimlerin periyotları ise dairesel hareketin periyoduna eşittir

BASİT HARMONİK HAREKET

Bir sarmal yay; herhangi bir kuvvet uygulanarak X kadar sıkıştırılır veya X kadar gerilirse, kendisine uygulanan kuvvete F = - k X yapısında bir kuvvet ile karşı koyar

Bu kuvvete denge konumuna geri çağırıcı kuvvet denir

Burada;
k : Yayın cinsine bağlı, yay sabiti olup birimi ( N/m )
X : Yayın sıkışma veya gerilme miktarıdır

( - ) işareti geri çağırıcı kuvvet ile X vektörlerinin zıt yönlü olduklarını belirtir

Sürtünmesiz yatay düzlemde bulunan bir sarmal yayın ucuna bir cisim bağlandıktan sonra yay X kadar sıkıştırılıp cisim A noktasında iken serbest bırakılsın

Bu cismin hareketini yalnız yayın kuvveti etkiler

Çünkü cismin ağırlığı ile yerin tepki kuvvetlerinin yatay bileşenleri sıfırdır

Cisim A noktasında iken serbest bırakıldıktan sonra

Yani cisim A noktasından 0 noktasına azalan ivme ile hızlanır

Tam 0 noktasında X = 0 olduğundan kuvvet ve ivme de sıfır olup hız maksimumdur

Cisim 0 noktasından B ye doğru harekete geçince X vektörü sağa doğru yönelir, geri çağırıcı kuvvet ve ivme sola doğru yönelir

Cisim 0 dan B ye kadar artan ivme ile yavaşlar

Tam B den 0 ya azalan ivme ile hızlanır, 0 dan A ya artan ivme ile yavaşlar ve A noktasında bir an durur

İdeal bir ortamda cisim A ve B noktaları arasında bu hareketi periyodik olarak tekrarlar

TANIM:
Bir cisim eşit zaman aralıklarında doğrusal bir eksen üzerinde sabit iki nokta arasında, 0 denge konumuna uzaklığı ile doğru orantılı ancak X yer değiştirme vektörüyle zıt yönlü geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle gidip gelme hareketi yapıyorsa bu harekete BASİT HARMONİK HAREKET denir

BASİT HARMONİK HAREKET TERİMLERİ:

1

Denge konumu ( X = 0 ) : Basit harmonik yapan cisme etki eden kuvvetin sıfır olduğu noktaya ( uç noktaların tam ortası ) denir

2

Uzanım ( X ) : Cismin her anki bir anda denge konumuna uzaklığına denir

3

Genlik ( Xm ) : Uzanım'ın maksimum değerine denir

4

Periyot ( T ) : cismin yörüngesi üzerindeki bir noktadan aynı yöne doğru art arda iki geçişi arasında geçen süreye denir

5

Frekans ( f ) : Cismin birim zamanda yaptığı tam gidip-gelme sayısına denir

Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cismin hareketinin çap eksenleri üzerindeki iz düşümleri basit harmonik harekettir

O halde basit harmonik hareketin hız ve ivme ifadeleri düzgün çembersel hareketten yararlanılarak bulunabilir

Cisim çembersel hareket yaparken şekildeki gibi A noktasından P noktasına geldiğinde iz düşümleri 0 noktasına uzaklıkları x ve y dir

Üçgenlerin benzerliğinden VX / y = V / r
Buradan Vx çekilirse;
Vx = ( V

y ) / r = ( 2Π/ T )

y olur

Büyük taralı üçgende,
x²m = x² + y² dir

y çekilip yukarıda yerine yazılırsa,
V = W √ x²m - x² bulunur

BASİT HARMONİK HAREKET YAPAN CİSMİN İVME DENKLEMİ
Aynı şekilde harmonik hareketin ivmeside bulunabilir

Üçgenlerin benzerliğinden;

KUVVET DENKLEMİ:

F = m

a olduğundan basit harmonik hareeket yapan cisme etki eden kuvvetin genel denklemi;

olur

m ve w² sabit olduklarından kuvvet ve ivme yalnız uzanıma bağlıdırlar

Yatay düzlemde yaya bağlı kütlenin periyodu:
m kütlesi sürtünmesiz yatay düzlemde A ve B noktaları arasında basit harmonik hareket yapıyorsa, cisme etki eden geri çağırıcı kuvvet:

Sonuç : Yaya bağlı kütle basit harmonik hareket yaparken hareketin periyodu kütle ve yay sabitine bağlı olup, genlikten, yerçekimi ivmesinden bağımsızdır

Yatay düzlemde yaya bağlı kütlenin A, 0, ve B noktaları için aşağıdaki tabloyu inceleyelim

Yer Kuvvet İvme Hız Cismin
Kinetik Enerjisi Yayın
Potansiyel Enerjisi A

0 0

0 0 0

0 B

0 0

10-31-2009	#1
Şengül Şirin	Basit Harmonik Hareket Basit harmonik hareket yapan cismin konum, hız, ivme değerlerini bulmak için dairesel hareketten yararlanılır Dairesel hareketin vektörlerinin yatay bileşenleri x ekseni üzerinde ki cismin hareketine aittir Benzer şekilde dairesel hareket yapan cismin konum, hız, ivme vektörlerinin düşy (y) bileşenini bulursak, y ekseninde hareket eden cismin konum, hız, ivme vektörlerini buluruz x ve y eksenlerinde basit harmonik hareket yapan cisimlerin periyotları ise dairesel hareketin periyoduna eşittir BASİT HARMONİK HAREKET Bir sarmal yay; herhangi bir kuvvet uygulanarak X kadar sıkıştırılır veya X kadar gerilirse, kendisine uygulanan kuvvete F = - k X yapısında bir kuvvet ile karşı koyar Bu kuvvete denge konumuna geri çağırıcı kuvvet denir Burada; k : Yayın cinsine bağlı, yay sabiti olup birimi ( N/m ) X : Yayın sıkışma veya gerilme miktarıdır ( - ) işareti geri çağırıcı kuvvet ile X vektörlerinin zıt yönlü olduklarını belirtir Sürtünmesiz yatay düzlemde bulunan bir sarmal yayın ucuna bir cisim bağlandıktan sonra yay X kadar sıkıştırılıp cisim A noktasında iken serbest bırakılsın Bu cismin hareketini yalnız yayın kuvveti etkiler Çünkü cismin ağırlığı ile yerin tepki kuvvetlerinin yatay bileşenleri sıfırdır Cisim A noktasında iken serbest bırakıldıktan sonra Yani cisim A noktasından 0 noktasına azalan ivme ile hızlanır Tam 0 noktasında X = 0 olduğundan kuvvet ve ivme de sıfır olup hız maksimumdur Cisim 0 noktasından B ye doğru harekete geçince X vektörü sağa doğru yönelir, geri çağırıcı kuvvet ve ivme sola doğru yönelir Cisim 0 dan B ye kadar artan ivme ile yavaşlar Tam B den 0 ya azalan ivme ile hızlanır, 0 dan A ya artan ivme ile yavaşlar ve A noktasında bir an durur İdeal bir ortamda cisim A ve B noktaları arasında bu hareketi periyodik olarak tekrarlar TANIM: Bir cisim eşit zaman aralıklarında doğrusal bir eksen üzerinde sabit iki nokta arasında, 0 denge konumuna uzaklığı ile doğru orantılı ancak X yer değiştirme vektörüyle zıt yönlü geri çağırıcı kuvvetin etkisiyle gidip gelme hareketi yapıyorsa bu harekete BASİT HARMONİK HAREKET denir BASİT HARMONİK HAREKET TERİMLERİ: 1 Denge konumu ( X = 0 ) : Basit harmonik yapan cisme etki eden kuvvetin sıfır olduğu noktaya ( uç noktaların tam ortası ) denir 2 Uzanım ( X ) : Cismin her anki bir anda denge konumuna uzaklığına denir 3 Genlik ( Xm ) : Uzanım'ın maksimum değerine denir 4 Periyot ( T ) : cismin yörüngesi üzerindeki bir noktadan aynı yöne doğru art arda iki geçişi arasında geçen süreye denir 5 Frekans ( f ) : Cismin birim zamanda yaptığı tam gidip-gelme sayısına denir Yatay düzlemde düzgün çembersel hareket yapan cismin hareketinin çap eksenleri üzerindeki iz düşümleri basit harmonik harekettir O halde basit harmonik hareketin hız ve ivme ifadeleri düzgün çembersel hareketten yararlanılarak bulunabilir Cisim çembersel hareket yaparken şekildeki gibi A noktasından P noktasına geldiğinde iz düşümleri 0 noktasına uzaklıkları x ve y dir Üçgenlerin benzerliğinden VX / y = V / r Buradan Vx çekilirse; Vx = ( Vy ) / r = ( 2Π/ T ) y olur Büyük taralı üçgende, x²m = x² + y² dir y çekilip yukarıda yerine yazılırsa, V = W √ x²m - x² bulunur BASİT HARMONİK HAREKET YAPAN CİSMİN İVME DENKLEMİ Aynı şekilde harmonik hareketin ivmeside bulunabilir Üçgenlerin benzerliğinden; KUVVET DENKLEMİ: F = ma olduğundan basit harmonik hareeket yapan cisme etki eden kuvvetin genel denklemi; olur m ve w² sabit olduklarından kuvvet ve ivme yalnız uzanıma bağlıdırlar Yatay düzlemde yaya bağlı kütlenin periyodu: m kütlesi sürtünmesiz yatay düzlemde A ve B noktaları arasında basit harmonik hareket yapıyorsa, cisme etki eden geri çağırıcı kuvvet: Sonuç : Yaya bağlı kütle basit harmonik hareket yaparken hareketin periyodu kütle ve yay sabitine bağlı olup, genlikten, yerçekimi ivmesinden bağımsızdır Yatay düzlemde yaya bağlı kütlenin A, 0, ve B noktaları için aşağıdaki tabloyu inceleyelim Yer Kuvvet İvme Hız Cismin Kinetik Enerjisi Yayın Potansiyel Enerjisi A 0 0 0 0 0 0 B 0 0 __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır