Permütasyon - Kombinasyon - Binom

**Şengül Şirin** · 05-31-2009

PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM

I PERMÜTASYON
A SAYMANIN TEMEL KURALI
1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veyam + n yolla yapılabilir

diğeri
2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m n yolla yapılabilir

B FAKTÖRİYEL
1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir

0! = 1 olarak tanımlanır

1! = 1
2! = 1

2

n! = 1

2

3

(n – 1)

n
Ü n! = n

(n – 1)!
Ü (n – 1)! = (n – 1)

(n – 2)! dir

Ü n

n! = (n + 1)! – n!

C TANIM
r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı,

Ü 1) P(n, n) = n!
2) P(n, 1) = n
3) P(n, n – 1) = n! dir

D TEKRARLI PERMÜTASYON
n tane nesnenin; n1 tanesi 1

çeşitten, n2 tanesi 2

çeşitten,

, nr tanesi de r yinci çeşitten olsun

n = n1 + n2 + n3 +

+ nr

olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

E DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON
n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir

n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı :

(n – 1)! dir

n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının

sayısı : (n > 2)

II KOMBİNASYON
TANIM
r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir

n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı

Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur

Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı:

Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla;
a) Çizilebilecek doğru sayısı
b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir

Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı
noktada kesişirler

Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir

Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur

Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim
noktası vardır

III BİNOM AÇILIMI
A TANIM
n Î IN olmak üzere,

ifadesine binom açılımı denir

Burada;

sayılarına binomun kat sayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir

ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir

B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ
1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır

2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir

3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır

Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir

4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde;
baştan (r + 1)

terim :
sondan (r + 1)

terim :

(x – y)n ifadesinin açılımında 1

terimin işareti (+), 2

terimin işareti (–), 3

terimin işareti (+)

dır

Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir

Ü n Î N+ olmak üzere,
(x + y)2n nin açılımında ortanca terim

Ü n Î IN+ olmak üzere,
açılımındaki sabit terim,

ifadesinde m

(n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur

Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır

Ü (a + b + c)n nin açılımında ak

br

cm li terimin kat sayısı;

05-31-2009	#1
Şengül Şirin	Permütasyon - Kombinasyon - Binom PERMÜTASYON – KOMBİNASYON – BİNOM I PERMÜTASYON A SAYMANIN TEMEL KURALI 1) Ayrık iki işlemden biri m yolla, diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veyam + n yolla yapılabilir diğeri 2) İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m n yolla yapılabilir B FAKTÖRİYEL 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir 0! = 1 olarak tanımlanır 1! = 1 2! = 1 2 n! = 1 2 3 (n – 1) n Ü n! = n (n – 1)! Ü (n – 1)! = (n – 1) (n – 2)! dir Ü n n! = (n + 1)! – n! C TANIM r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı, Ü 1) P(n, n) = n! 2) P(n, 1) = n 3) P(n, n – 1) = n! dir D TEKRARLI PERMÜTASYON n tane nesnenin; n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, , nr tanesi de r yinci çeşitten olsun n = n1 + n2 + n3 + + nr olmak üzere, bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı, E DAİRESEL (DÖNEL) PERMÜTASYON n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralanmasına, n elemanın dairesel sıralaması denir n elemanın dairesel sıralamalarının sayısı : (n – 1)! dir n tane farklı anahtarın yuvarlak (halka biçimindeki) bir anahtarlığa sıralanmalarının sayısı : (n > 2) II KOMBİNASYON TANIM r ve n birer doğal sayı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu (gruplaması) denir n elemanın r li kombinasyonlarının sayısı Permütasyonda sıralama, kombinasyonda ise seçme söz konusudur Ü n kenarlı düzgün bir çokgenin köşegen sayısı: Ü Herhangi üçü doğrusal olmayan, aynı düzlemde bulunan n tane noktayla; a) Çizilebilecek doğru sayısı b) Köşeleri bu noktalar üzerinde olan tane üçgen çizilebilir Ü Aynı düzlemde birbirine paralel olmayan n tane doğru en çok farklı noktada kesişirler Ü Aynı düzlemde bulunan doğrulardan n tanesi birbirine paralel ve bu n tane doğruya paralel olmayan diğer m tane doğru da birbirine paraleldir Düzlemde kenarları bu doğrular üzerinde olan tane paralelkenar oluşur Ü Aynı düzlemde yarıçapları farklı n tane çemberin en çok tane kesim noktası vardır III BİNOM AÇILIMI A TANIM n Î IN olmak üzere, ifadesine binom açılımı denir Burada; sayılarına binomun kat sayıları denir ifadelerinin her birine terim denir ifadesinde kat sayı, xn – 1 ve yr ye de terimin çarpanları denir B (x + y)n AÇILIMININ ÖZELİKLERİ 1) (x + y)n açılımında (n + 1) tane terim vardır 2) Her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n dir 3) Kat sayılar toplamını bulmak için değişkenler yerine 1 yazılır Buna göre, (x + y)n nin katsayılarının toplamı (1 + 1)n = 2n dir 4) (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde; baştan (r + 1) terim : sondan (r + 1) terim : (x – y)n ifadesinin açılımında 1 terimin işareti (+), 2 terimin işareti (–), 3 terimin işareti (+) dır Kısaca; y nin üssü çift sayı olan terimin işareti (+), tek sayı olan terimin işareti (–) dir Ü n Î N+ olmak üzere, (x + y)2n nin açılımında ortanca terim Ü n Î IN+ olmak üzere, açılımındaki sabit terim, ifadesinde m (n – r) – kr = 0 koşulunu sağlayan n ve r değerleri yazılarak bulunur Ü c bir gerçel sayı olmak üzere, (x + y + c)n açılımındaki sabit terimi bulmak için x = 0 ve y = 0 yazılır Ü (a + b + c)n nin açılımında ak br cm li terimin kat sayısı; __________________ Arkadaşlar, efendiler ve ey millet, iyi biliniz ki, Türkiye Cumhuriyeti şeyhler, dervişler, müritler, meczuplar memleketi olamaz En doğru, en hakiki tarikat, medeniyet tarikatıdır