İşlem

İŞLEM

A TANIM
Herhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem denir
A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili işlem veya kısaca işlem denir

İşlemler; + , – , : , x, D, m, q, « gibi simgelerle gösterilir

B İŞLEMİN ÖZELİKLERİ
A kümesinde ve « işlemleri tanımlanmış olsun Buna göre, aşağıdaki 7 özeliği inceleyelim

1 Kapalılık Özeliği
" a, b Î A için a b nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi işlemine göre kapalıdır (" : Her)

2 Değişme Özeliği
" a, b Î A için, a b = b a ise, işleminin değişme özeliği vardır

3 Birleşme Özeliği
" a, b, c Î A için a (b c) = (a b) c ise, işleminin birleşme özeliği vardır

4 Birim (Etkisiz) Eleman Özeliği
" x Î A için, x e = e x = x ise, e ye işleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise, işlemine göre A kümesi birim eleman özeliğine sahiptir

5 Ters Eleman Özeliği
işleminin etkisiz elemanı e olsun
" a Î A için, a b = b a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine göre a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir
b Î A ise, işlemine göre A kümesi ters eleman özeliğine sahiptir

• Birim elemanın tersi kendisine eşittir

• Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir

6 Dağılma Özeliği
" a, b, c Î A için,

a « (b c) = (a « b) (a « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine soldan dağılma özeliği vardır

(a b) « c = (a « c) (b « c) ise,

« işleminin işlemi üzerine sağdan dağılma özeliği vardır

« işleminin işlemi üzerine; hem soldan, hem de sağdan dağılma özeliği varsa « işleminin işlemi üzerine dağılma özeliği vardır

7 Yutan Eleman Özeliği
" x Î A için, x y = y x = y olacak biçimde bir y varsa y ye işleminin yutan elemanı denir
y Î A ise, işlemine göre A kümesi yutan eleman özeliğine sahiptir

Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir

C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde D işlemi aşağıdaki tablo ile tanımlanmış olsun

Ü b D c nin sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların kesiştiği bölgedeki eleman, b D c nin sonucudur Buna göre, b D c = a dır
Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa A kümesi D işlemine göre kapalıdır
Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise, D işleminin değişme özeliği vardır
Ü Tablonun sonuçlar kısmında, başlangıç sütununun ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimindeki eleman etkisiz elemandır
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse girsin, sonuç kendisine eşit olur Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Bulunan yutan elemandır

D MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, « işlemi A da tanımlı olsun
(A, «) ikilisine matematik sistem denir

2 Grup
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde tanımlı « işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa, A kümesi « işlemine göre bir gruptur
I) A, « işlemine göre kapalıdır
II) A üzerinde « işleminin birleşme özeliği vardır
III) A üzerinde « işleminin birim (etkisiz) elemanı vardır
IV) A üzerinde « işlemine göre her elemanın tersi vardır

A üzerinde tanımlı « işleminin değişme özeliği de varsa (A, «) sistemi değişmeli gruptur

3 Halka
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi üzerinde tanımlı D ve « işlemleri aşağıdaki üç koşulu sağlıyorsa (A, D, «) sistemi bir halkadır
I) (A, D) sistemi değişmeli gruptur
II) A kümesi « işlemine göre kapalıdır
III) « işleminin D işlemi üzerinde dağılma özeliği vardır

Ü« işleminin değişme özeliği de varsa (A, D, «) sistemi değişmeli halkadır
Ü« işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D, «) sistemine birim halka denir

__________________