Kümeler

KÜMELER

A TANIM
• Küme, nesnelerin iyi tanımlanmış listesidir
• Kümeler genellikle A, B, C gibi büyük harflerle gösterilir
• Kümeyi oluşturan öğelere, kümenin elemanı denir a elemanı A kümesine ait ise, a Î A biçiminde yazılır “ a, A kümesinin elemanıdır” diye okunur b elemanı A kümesine ait değilse, b Ï A biçiminde yazılır “ b, A kümesinin elemanı değildir” diye okunur
• Kümede, aynı eleman bir kez yazılır
• Elemanların yerlerinin değiştirilmesi kümeyi değiştirmez
• A kümesinin eleman sayısı s(A) ya da n(A) ile gösterilir

B KÜMELERİN GÖSTERİLİŞİ
Kümenin elemanları aşağıdaki 3 yolla gösterilebilir

1 Liste Yöntemi
Kümenin elemanları { } sembolü içine, her bir elemanın arasına virgül konularak yazılır
A = {a, b, {a, b, c}} ise, s(A) = 3 tür

2 Ortak Özelik Yöntemi
Kümenin elemanlarını, daha somut ya da daha kolay algılanır biçimde gerektiğinde sözel, gerektiğinde matematiksel bir ifade olarak ortaya koyma biçimidir
A = {x : (x in özelliği)}
Burada “x :” ifadesi “öyle x lerden oluşur ki” diye okunur
Bu ifade “x |” biçiminde de yazılabilir

3 Venn Şeması Yöntemi
Küme, kapalı bir eğri içinde her eleman bir nokta ile gösterilip noktanın yanına elemanın adı yazılarak gösterilir
Bu gösterime Venn Şeması ile gösterim denir

C EŞİT KÜME, DENK KÜME
Aynı elemanlardan oluşan kümelere eşit kümeler denir Eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir
A kümesi B kümesine eşit ise A = B,
C kümesi D kümesine denk ise C º D
biçiminde gösterilir

Eşit olan kümeler ayın zamanda denktir Fakat denk kümeler eşit olmayabilir

D BOŞ KÜME
Hiç bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir
Boş küme { } ya da Æ sembolleri ile gösterilir

{Æ} ve {0} kümeleri boş küme olmayıp birer elemana sahip iki denk kümedir

E ALT KÜME - ÖZALT KÜME
1 Alt Küme
A kümesinin her elemanı, B kümesinin de elemanı ise A ya B nin alt kümesi denir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise A Ì B biçiminde gösterilir
A kümesi B kümesinin alt kümesi ise B kümesi A kümesini kapsıyor denir B É A biçiminde gösterilir
C kümesi D kümesinin alt kümesi değilse C Ë D biçiminde gösterilir

2 Özalt Küme
Bir kümenin, kendisinden farklı bütün alt kümelerine o kümenin özalt kümeleri denir

3 Alt Kümenin Özelikleri
I) Her küme kendisinin alt kümesidir
A Ì A
II) Boş küme her kümenin alt kümesidir

Æ Ì A

III) (A Ì B ve B Ì A) Û A = B dir
IV) (A Ì B ve B Ì C) Ş A Ì C dir
V) n elemanlı bir kümenin alt kümelerinin sayısı 2n ve özalt kümelerinin sayısı 2n – 1 dir
VI) n elemanlı bir kümenin r tane elemanlı (n ³ r) alt kümelerinin sayısı



F KÜMELERLE YAPILAN İŞLEMLER
1 Kümelerin Birleşimi
A nın elemanlarından veya B nin elemanlarından oluşan kümeye bu iki kümenin birleşim kümesi denir ve A È B biçiminde gösterilir
A È B = {x : x Î A veya x Î B} dir

2 Birleşim İşleminin Özelikleri
I) A È Æ = A
II) A È A = A
III) A È B = B È A
IV) A È (B È C) = (A È B) È C
V) A Ì B ise, A È B = B
VI) A È B = Æ ise, (A = Æ ve B = Æ) dir

3 Kümelerin Kesişimi
A ve B kümesinin ortak elemanlarından oluşan kümeye A ile B nin kesişim kümesi denir ve A Ç B biçiminde gösterilir
A Ç B = {x : x Î A ve x Î B} dir



4 Kesişim İşleminin Özelikleri
I) A Ç Æ = Æ
II) A Ç A = A
III) A Ç B = B Ç A
IV) (A Ç B) Ç C = A Ç (B Ç C)
V) A Ç (B È C) = (A Ç B) È (A Ç C)
VI) A È (B Ç C) = (A È B) Ç (A È C)

G EVRENSEL KÜME
Üzerinde işlem yapılan, bütün kümeleri kapsayan kümeye, evrensel küme denir Evrensel küme genellikle E ile gösterilir



H BİR KÜMENİN TÜMLEYENİ
Evrensel kümenin elemanı olup, A kümesinin elemanı olmayan elemanlardan oluşan kümeye A nın tümleyeni denir ve ya da Aı ile gösterilir
= {x : x Î E ve x Ï A, A Ì E} dir

Tümleyenin Özelikleri


I KUVVET KÜMESİ
Bir kümenin bütün alt kümelerin kümesine kuvvet kümesi denir Kuvvet kümesi P(A) ile gösterilir
s(A) = n ise, s(P(A)) = 2n dir

J İKİ KÜMENİN FARKI
A kümesinde olup, B kümesinde olmayan elemanların kümesine A fark B kümesi denir A fark B kümesi A – B ya da A \ B biçiminde gösterilir
A – B = {x : x Î A ve x Ï B} dir


Farkla İlgili Özelikler
A, B, C kümeleri E evrensel kümesinin alt kümeleri olmak üzere,


K ELEMAN SAYISI
A, B, C herhangi birer küme olmak üzere,
I) s(A È B) = s(A) + s(B) – s(A Ç B)
II) s(A È B È C) = s(A) + s(B) + s(C) – s(A Ç B) – s(A Ç C) – s(B Ç C) + s(A Ç B Ç C)
III) s(A È B) = s(A – B) + s(A Ç B) + s(B – A)
IV) a + b + c + d tane öğrencinin bulunduğu bir sınıfta voleybol oynayan öğrencilerin sayısı s(V) = b + c, tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T) = a + b, voleybol ve tenis oynayan öğrencilerin sayısı s(T Ç V) = b olsun

Tenis veya voleybol oynayanların sayısı:
s(T È V) = a + b + c dir
Tenis ya da voleybol oynayanların sayısı:
s(T – V) + s(V – T) = a + c dir
Sadece tenis oynayanların sayısı:

s(T – V) = a dır

Tenis oynamayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan en az birini oynayanların sayısı:

s(T È V) = a + b + c dir

Bu iki oyundan en çok birini oynayanların sayısı:

dir

Bu iki oyundan hiç birini oynamayanların sayısı:

dir

__________________