Modüler Aritmetik

**Şengül Şirin** · 04-17-2009

Modüler Aritmetik

MODÜLER ARİTMETİKa, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır
b denklik bağıntısı olduğundan
Her (a, b) Î b için,
a º b (mod m)
biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir
ise , a º b (mod m)
a º b + mk, k
Î Z
Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar:

0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir Bu kalanların
her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik
sınıfları

0,
1,
2,
3,
4, … , (m – 1) dir

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m
biçiminde gösterilir
Buna göre, Z/m = {0,
1,
2,
3,
4, … , (m
– 1)} dir
Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve

a º b (mod m)
c º d (mod m)

olmak üzere,

1) a + c º b + d (mod m)
2) a – c º b – d (mod m)
3) a c º b d (mod m)
4) an º bn (mod m)
5) a – b º 0 (mod m)
6) k a º k b (mod m) dir
7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak
böleni ise
a ile m ve b ile m aralarında asal olmak
üzere,

dir
Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır

x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam
sayı ve m bir asal sayı ise,

xm – 1 º 1 (mod m) dir
x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir

x ile m aralarında
asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi

m = ak b r c p ve

xT º 1 (mod m) dir
m asal sayı ise ,
(m - 1)!+1 º 0 (mod n) idr

04-17-2009	#1
Şengül Şirin	Modüler Aritmetik Modüler Aritmetik MODÜLER ARİTMETİKa, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan, b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler} bir denklik bağıntısıdır b denklik bağıntısı olduğundan Her (a, b) Î b için, a º b (mod m) biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir ise , a º b (mod m) a º b + mk, k Î Z Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar: 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları 0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1) dir Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve Z/m biçiminde gösterilir Buna göre, Z/m = {0, 1, 2, 3, 4, … , (m – 1)} dir Ü n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere, 1) a + c º b + d (mod m) 2) a – c º b – d (mod m) 3) a c º b d (mod m) 4) an º bn (mod m) 5) a – b º 0 (mod m) 6) k a º k b (mod m) dir 7) n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir Z/m deki işlemler (mod m) ye göre yapılır x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise, xm – 1 º 1 (mod m) dir x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarına ayrılmış biçimi m = ak b r c p ve xT º 1 (mod m) dir m asal sayı ise , (m - 1)!+1 º 0 (mod n) idr