Kartezyen Çarpım Ve Bağıntı

Kartezyen Çarpım ve Bağıntı

A SIRALI n Lİn tane nesnenin belli bir öncelik sırasına göre düzenlenip, tek bir nesne gibi
düşünülmesiyle elde edilen ifadeye sıralı n li denir
(a, b) sıralı ikilisinde;
a : Birinci bileşen,
b : İkinci bileşendir
a ¹ b ise, (a, b) ¹ (b,
a) dır
(a, b) = (c, d) ise, (a = c ve b = d) dir
B KARTEZYEN ÇARPIM
A ve B herhangi iki küme olmak üzere, birinci bileşeni A kümesinden, ikinci bileşeni
B kümesinden alınarak oluşturulan bütün sıralı ikililerin kümesine, A ile B nin
kartezyen çarpımı denir
A kartezyen çarpım B kümesi A x B ile gösterilir
A x B = {(x, y) : x Î A ve y Î
B} dir
A ¹ B ise, A x B ¹ B x
A dır
C KARTEZYEN ÇARPIMININ
ÖZELLİKLERİ
i) s(A) = m ve s(B) = n ise
s(A x B) = s(B x A) = m n dir
ii) A x (B x C) = (A x B) x C
iii) A x (B È C) = (A x B)
È (A x C)
iv) (B È C) x A = (B x A)
È (C x A)
v) A x (B Ç C) = (A x B)
Ç (A x C)
vı) A x Æ = Æ x
A = Æ
vıı)


D BAĞINTI
A ve B herhangi iki küme olmak üzere A x B nin her alt kümesine A dan B ye bağıntı
denir
Bağıntı genellikle b biçiminde gösterilir
b Ì A x B ise,
b = {(x, y) : (x, y) Î A x
B} dir
s(A) = m ve s(B) = n ise,
A dan B ye 2mn tane bağıntı tanımlanabilir
A x A nın herhangi bir alt kümesine A dan A ya bağıntı ya da A da bağıntı denir
s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilen r elemanlı (r £ m n) bağıntı
sayısı
b Ì A x B olmak üzere,
b = {(x, y) : (x, y) Î
A x B} bağıntısının tersi
b-1 Ì B x A
dır
Buna göre, b bağıntısının tersi
b-1 = {(y, x) : (x, y)
Î b} dır
E BAĞINTININ ÖZELLİKLERİ
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun
1 Yansıma Özelliği
A kümesinin bütün x elemanları için (x, x)
b ise, b yansıyandır
“x Î A için, (x, x) Î
b® b yansıyandır
2 Simetri Özelliği
b bağıntısının bütün (x, y) elemanları için (y, x)
Î b ise, b simetriktir
“(x, y) Î b için (y, x) Î
b ® b
simetriktir
b bağıntısı simetrik ise b = b-1
dir
s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek simetrik bağıntı sayısı

s(A) = n olmak üzere, A kümesinde tanımlanabilecek yansıyan bağıntı sayısı 2(n2
- n) dir
3 Ters Simetri Özelliği
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun
x ¹ y iken “(x, y) Î b için (y, x)
Ï b ise, b ters simetriktir
b bağıntısında (x, x) elemanın bulunması ters simetri özelliğini bozmaz
4 Geçişme Özelliği
b, A da tanımlı bir bağıntı olsun
“[(x, y) Î b ve (y, z) Î
b] için (x, z) Î b ise,


olmalı
b bağıntısının geçişme özelliği vardır
F BAĞINTI ÇEŞİTLERİ
1 Denklik Bağıntısı
b bağıntısı A kümesinde tanımlı olsun
b; Yansıma, Simetri, Geçişme özelliğini sağlıyorsa
denklik bağıntısıdır b denklik bağıntısı ve (x, y) Î
b ise, x denktir y ye denir
x º y biçiminde gösterilir
b denklik bağıntısı olmak üzere A da a elemanına denk olan bütün elemanların
kümesine a nın denklik sınıfı denir
–a biçiminde gösterilir
Buna göre, a nın denklik sınıfının kümesi,
–a = {y : y Î A ve (a, y) Î
b} olur
2 Sıralama Bağıntısı
A kümesinde tanımlı b bağıntısında; Yansıma, Ters simetri, Geçişme özelliği varsa
bağıntı sıralama bağıntısıdır