Şengül Şirin
|
Işlem
işlem
A TANIMHerhangi bir A kümesinden A kümesine tanımlanan her fonksiyona birli işlem
denir
A Ì B olmak üzere, A x A kümesinden B kümesine tanımlanan her fonksiyona ikili
işlem veya kısaca işlem denir
İşemler; + , – , : , x, D ,o,¨
, *, « gibi simgelerle gösterilir
B İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ
A kümesinde D ve * işlemleri
tanımlanmış olsun Buna göre, aşağıdaki 7 özelliği inceleyelim
1 Kapalılık Özelliği
” a, b Î A için aDb
nin sonucu A kümesinin bir elemanı ise, A kümesi Dişlemine
göre kapalıdır
2 Değişme Özelliği
“ a, b Î A için, aD
b = bD a ise, Dişleminin
değişme özelliği vardır
3 Birleşme Özelliği
“ a, b, c Î A için aD
(bD c) = (Da b)
Dc ise,D
işleminin birleşme özelliği vardır
4 Birim (Etkisiz) Eleman Özelliği
“ x Î A için, xD
e = e Dx = x ise, e ye
Dişleminin etkisiz elemanı denir
e Î A ise,D işlemine göre
A kümesi birim eleman özelliğine sahiptir
5 Ters Eleman Özelliği
Dişleminin etkisiz elemanı e
olsun
“ a Î A için, aD
b = bD a = e olacak biçimde bir b varsa b elemanına işlemine
göre a nın tersi denir
a nın tersi b ise genellikle b = a–1 biçiminde gösterilir
b Î A ise,D xişlemine göre
A kümesi ters eleman özelliğine sahiptir- Birim elemanın tersi kendisine eşittir
- Tersi kendisine eşit olan her eleman birim eleman olmayabilir
6 Dağılma Özelliği
” a, b, c Î A için,
a * (bD c) = (a
* b)D(a*
c) ise,
* işlemininDişlemi
üzerinde soldan dağılma özelliği vardır
(aD b) * c = (a
* c)D(b
* c) ise,
* işleminin işlemi üzerinde sağdan dağılma
özelliği vardır
* işleminin D
işlemi üzerinde; hem soldan, hem de sağdan dağılma özelliği varsa
* işleminin D
işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır
7 Yutan Eleman Özelliği
” x Î A için, xDi
y = yDx = y olacak biçimde bir y varsa y ye
Diişleminin yutan elemanı denir
y Î A
ise,D işlemine göre A kümesi yutan eleman özelliğine
sahiptir
Yutan elemanın tersi yoktur Fakat tersi olmayan her eleman yutan eleman değildir
C TABLO İLE TANIMLANMIŞ İŞLEMLER
A = {a, b, c, d} kümesinde *¶ işlemi aşağıdaki
tablo ile tanımlanmış olsun 
Ü b * c nin
sonucu bulunurken, başlangıç sütununda b, başlangıç satırında c bulunur Bunların
kesiştiği bölgedeki eleman, b *c nin sonucudur
Buna göre, b * c = a dır
Ü Başlangıç satırındaki ve başlangıç sütunundaki
elemanların sonuçlarının görüldüğü kısımda A kümesine ait olmayan eleman yoksa
A kümesi * işlemine göre kapalıdır
Ü Sonuçlar kısmı, köşegene göre simetrik ise,
* işleminin değişme özelliği vardır
Ü Tablonun sonuçlar kısmında başlangıç sütununun
ve başlangıç satırının görüldüğü sütunun ve satırın kesişimin deki eleman
etkisiz elemandır
Ü Yutan eleman hangi elemanla işleme girerse
girsin, sonuç kendisine eşit olur Bunun için, tablonun sonuçlar kısmında aynı
elemandan oluşan satır ve sütun belirlenir Bulunan yutan elemandır
D MATEMATİK SİSTEMLER
1 Tanım
A, boş olmayan bir küme olmak üzere, * işlemi
A da tanımlı olsun
(A, *) ikilisine matematik sistem denir
2 Grup
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesinde
tanımlı * işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa,
A kümesi* işlemine göre bir gruptur- A, * işlemine göre kapalıdır
- A üzerinde * işleminin birleşme özelliği
vardır
- A üzerinde * işleminin birim (etkisiz)
elemanı vardır
- A üzerinde *işlemine göre her elemanın
tersi vardırA üzerinde tanımlı * işleminin
değişme özelliği de varsa (A,*) sistemi
değişmeli gruptur
3 Halka
A ¹ Æ olmak üzere, A kümesi
üzerinde tanımlı D ve * işlemleri aşağıdaki üç
koşulu sağlıyorsa (A, D, *)
sistemi bir halkadır- (A, D) sistemi değişmeli gruptur
- A kümesi*işlemine göre kapalıdır
- *işleminin D işlemi üzerinde dağılma özelliği
vardır
Ü * işleminin
değişme özelliği de varsa (A, D, *) sistemi
değişmeli halkadır
Ü *
işleminin A kümesinde birim (etkisiz) elemanı da varsa (A, D,
*) sistemine birim halka denir
|