Fonksiyonlar
A
TANIM
A ¹ Æ ve B
¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı
verilmiş olsun A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez
ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir Fonksiyonlar
f ile gösterilir “ x Î A ve
y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ®
f(x) = y biçiminde gösterilir Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu
f = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)ç (d, 3)} biçiminde de gösterilir Ü Her fonksiyon bir bağıntıdır Fakat
her bağıntı fonksiyon olmayabilir Ü Görüntü kümesi değer kümesinin alt
kümesidir Ü s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı
2m n – nm dir
Ü Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon
olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir Bu
doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı
kesi-yorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur B FONKSİYONLARDA DÖRT İŞLEM f ve g birer fonksiyon olsun f : A ® IR
g : B ® IR
olmak üzere,
i) f ± g: A Ç B
® IR
(f ± g)(x) = f(x) ± g(x)
ii) f g: A Ç B ® IR (f g)(x) = f(x) g(x)
C FONKSİYON ÇEŞİTLERİ 1 Bire Bir Fonksiyon Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon
bire birdir “ x1, x2
Î A için, f(x1) = f(x2)iken
x1 = x2 ise f fonksiyonu bire birdir Ü s(A) = m ve s(B) = n (n
³ m) olmak üzere,
A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı
2 Örten Fonksiyon Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon
denir f : A ® B
f(A) = B ise, f örtendir Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı
Ü m! = m (m – 1) (m – 2) … 3
2 1 dir 3 İçine Fonksiyon Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir Ü İçine fonksiyonun değer kümesinde
eşlenmemiş eleman vardır Ü s(A) = m olmak üzere, A dan A ya
tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı
mm – m! dir
4 Birim (Etkisiz) Fonksiyon Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir f : IR ® IR
f(x) = x
birim (etkisiz) fonksiyondur Ü Birim fonksiyon genellikle I ile
gösterilir 5 Sabit Fonksiyon Tanım kümesindeki bütün elemanları değer kümesindeki bir elemana
eşleyen fonksiyona sabit fonksiyon denir Ü “x
Î A ve c Î B için
f : A ® B
f(x) = c
fonksiyonu sabit fonksiyondur Ü s(A) = m, s(B) = n olmak üzere,
A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir 6 Çift ve Tek Fonksiyon f : IR ® IR
f(– x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur f(– x) = – f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur Ü Çift fonksiyonların grafikleri Oy
eksenine göre simetriktir Ü Tek fonksiyonların grafikleri orijine
göre simetriktir D EŞİT FONKSİYON f : A ® B
g : A ® B
“x Î A için
f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir E PERMÜTASYON FONKSİYONU f : A ® A
olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna
permütasyon fonksiyon denir A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A
f = {(a, b), (b, c), (c, a)}
fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup
F TERS FONKSİYON f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f nin tersi olan f – 1
de fonksiyondur Ü Uygun koşullarda,
f(a) = b Û f
– 1(b) = a dır Ü f : IR
® IR, f(x) = ax + b ise, f –
1(x) =
dır Ü (f – 1) – 1
= f dir Ü (f – 1(x)) – 1
¹ f(x) tir Ü y = f(x) in belirttiği eğri ile y
= f – 1(x) in belirttiği eğri y = x doğrusuna göre simetriktir Ü B Ì IR
olmak üzere,
Ü B Ì IR
olmak üzere,
G BİLEŞKE FONKSİYON 1 Tanım f : A ® B
g : B ® C
olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna
f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur (gof)(x) = g[f(x)] tir 2 Bileşke Fonksiyonun Özellikleri i) Bileşke işleminin değişme özelliği yoktur fog ¹ gof
Bazı fonksiyonlar için
fog= gof olabilir Fakat bu bileşke işleminin değişme
özelliği olmadığını değiştirmez ii) Bileşke işleminin birleşme özelliği vardır fo(goh) = (fog)oh = fogoh
iii)
foI = Iof = f
olduğundan I(x) = x fonksiyonu bileşke işleminin birim (etkisiz)
elemanıdır iv)
fof – 1 = f – 1of = I
olduğundan f nin bileşke işlemine göre tersi f – 1 dir v)
(fog) – 1 = g – 1of – 1 dir