Olasılık

OLASILIK

A TANIM
Olasılık, sonucu kesin olmayan olaylarla ilgilenir Bir zar atıldığında üst yüze gelen noktaların sayısının ne olacağı gibi şans oyunlarıyla ilgilenen olasılık teorisi günümüzde sosyal olaylar ve bilimsel çalışmalarda da kullanılmaktadır



B OLASILIK TERİMLERİ
Bir madeni para havaya atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini (vb) tesbit etme işlemine deney denir

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) sonuç denir

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümeye örnek uzay ve örnek uzayın her bir elemanına örnek nokta denir

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine olay denir

Örnek uzayın alt kümelerinden olan boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir

Örnek uzayın bütün elemanlarını içeren alt kümesine mutlak (kesin) olay denir



A ve B, E örnek uzayına ait iki olay olsun

A kesişim B = boşküme

ise, A ve B olayına ayrık olay denir






C OLASILIK FONKSİYONU
E örnek uzayının bütün alt kümelerinin oluşturduğu kuvvet kümesi K olsun

P : K ise [0, 1]

biçiminde tanımlanan P fonksiyonuna olasılık fonksiyonu denir A Î K ise P(A) gerçel sayısına A olayının olasılığı denir



*** 1) Her A eleman K için, 0 küçük eşit P(A) küçükeşit 1 dir Yani, A olayının olasılığı 0 ile 1 arasındadır

2) İmkansız olayın olasılığı 0 ve kesin olayın olasılığı 1 dir

3) A, B elemanıdır K ve A kesişim B = boşküme ise,

P(A birleşim B) = P(A) + P(B) dir



** 1)

2) A altküme B ise P(A) küçük eşit P(B) dir

3) tümleyeni olmak üzere,



4) P(A birleşim B) = P(A) + P(B) – P(A kesişim B)

5) A, B, C olayları E örnek uzayının ikişer ikişer ayrık bütün olayları ise,
(E = A birleşim B birleşim C)

P(A) + P(B) + P(C) = 1 dir



** 1) n, paranın atılma sayısını veya para sayısını göstermek üzere, örnek uzay 2 üzeri n dir

2) n, zarın atılma sayısını veya zar sayısını göstermek üzere, örnek uzay 6 üzeri n dir



D BAĞIMSIZ VE BAĞIMLI OLAYLAR
Bir olayın elde edilmesi, diğer olayın elde edilmesini etkilemiyorsa bu iki olaya bağımsız olaylar denir

Eğer iki olay bağımsız değil ise, bu olaylara birbirine bağımlıdır denir

** A ve B bağımsız iki olay olsun A nın ve B nin gerçekleşme olasılığı :

P(A kesişim B) = P(A) P(B) dir



E KOŞULLU OLASILIK
A ve B, E örnek uzayında iki olay olsun B olayının gerçekleşmiş olması durumunda, A olayının olasılığına, A olayının B ye bağlı koşullu olasılığı denir ve P(A \ B) ile gösterilir



Bir deneyde bir A olayının olasılığı x olsun Bu deney n kez tekrarlandığında A olayının k kez gerçekleşmesi olasılığı,

dir