Fonksiyon Dersleri - Fonksiyon Aritmetiği - Fonksiyon Dersleri Çözümlü Sorular

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

FONKSİYON

TANIM:

A ve B gibi boş olmayan iki küme için tanımlanan bir bağıntı f olsun

f bağıntısı A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyor ve A da eşlenmeyen eleman kalmıyorsa A dan B ye tanımlanan bu f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir

f

A B

xA yB ve A dan B ye fonksiyonu x’i y’ye eşliyorsa

f =A B

x f(x)=y şeklinde gösterilir

A = Tanım kümesi

B= Değer kümesi

x’e değişken y’ye (y=f(x)) x’in f fonksiyonuna göre görüntüsü yada f fonksiyonunun x için aldığı değer denir

A tanım kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntülerinin kümesine A nın görüntü kümesi denir

Ve f(A) ile gösterilir

f(A)B’ dir

ÖRNEK: A={-3-1023}

F=A R fonksiyonu

F{(-35)(-12)(03)(25)(3-4)} olarak veriliyor

F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir?

A)0 B)2 C)3 D)4 E)5

ÇÖZÜM:

f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur

f(0)= 3 olduğundan

f(3)=-4 Cevap

FONKSİYON TÜRLERİ:

BİRE BİR FONKSİYON

TANIM:

A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir

Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur

Kısacası

x1 x2 A için x1  x2  f(x1)  f(x2) ya da f(x)1 = f(x2)  x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur

A f B f

A A B

f: A B birebir fonksiyon g: A B birebir fonksiyon

y

h(x)=y=2x

4

3

2

1

0 1 2 3 x

-1

-1

-2

h

h:R R h(x)=2x

bire bir fonksiyondur

ÖRTEN FONKSİYON

TANIM:

f:A B fonksiyonu verilsin

f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir

Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa f fonksiyonu örtendir

Örten fonksiyonda

 y  B için f(x)=y olacak şekilde en az bir xA vardır

f:A B fonksiyonun örten olabilmesi için s(A)  s(B) olmalıdır

A f B

f:A B örten fonksiyon

İÇİNE FONKSİYON

TANIM:

f:A B fonksiyonu için f(A)B ise yani değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir

A g B

g:A B içine fonksiyon

BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON

TANIM:

f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve iççine fonksiyon denir

A f B f:A B fonksiyonunda farklı

elemanların görüntüleri de farklı

ve f(A)B olduğundan f fonksiyonu

birebir ve içine fonksiyondur

BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON

TANIM:

f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve örten fonksiyon denir

A g B

g:A B fonksiyonunda farklı

elemanların görüntüleri de farklı ve

g(A)=B olduğundan g fonksiyonu bire bir ve

örten fonksiyondur

SABİT FONSİYON

TANIM:

f:A B fonksiyonu (x)A için f(x)=c oluyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir

A f B

TERS FONKSİYON

A f B Yandaki şemada A dan b ye verilen f

fonksiyonunun

g={(a1)(b3)(c2)(d4)} olduğunu söyleyebiliriz

g fonksiyonu bir bağıntı olduğu için tersi vardır ve

g-1 ={(1a)(2c)(3b)(4d)} dir

TANIM:

f A dan B ye bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 bağıntısı da B den A ya bir fonksiyondur

f-1 fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir

A B dir

CEVAPLI SORULAR

1) f A dan B ye bir fonksiyon x x2 fonksiyonunun bire bir midir?

CEVAP:

f(-2) = (-2)2 = 4

f(2) =22 = 4 olduğundan -2  2  f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir

2) A ={ -1 01 } ve b={ 01 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2

fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız

CEVAP:

f(-1) = 1

f(0) = 0  f(A) = {01} dır

f(1) =1

f(A) = B olduğundan f örtendir

3) A = {-1 0123} ve B = {01234510} kümeleri veriliyor

f(x) = x2 + 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon)

CEVAP:

f(-1) = (-1)2 + 1 = 2

f(0) = 02 +1 = 1

f(1) = 12 + 1 = 2

f(2) = 22 + 1 = 5

f(3) = 32 + 1 = 10

f(A) = { 12510}  B olduğundan f içine fonksiyondur

4) f : R [2 +  ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x  0

CEVAP:

f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1  1

x1  x2 için f(x1)  f(x2) f(-1) = f(1)

f(-1) = (-1)2 + 2 = 3

f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil

5) f : R R f(x) = ( a-2 )

x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a – b +f(x)=?

CEVAP:

f(x) = c olduğundan

f(x) = ( a - 2 )

x2 + ( b + 3 )

x +7

0 0

a–2 = 0 b+3 = 0

a = 2 b = -3

f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12

6) f :R R f(x) = x3 – 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir?

CEVAP:

f-1(2) = x  f(x) = 2

 x3 – 4x +2 = 2

 x3 – 4x = 0

 x( x2 – 4 ) = 0

 x = 0 x = 2 x = -2

f-1(2) = { -2 0 2 } bulunur

7) f : R-{-1} R f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre f-1(6) nedir?

CEVAP:

f-1(6) = x  f(x) = 6

 x2 –3x + 2 = 6

 x2 –3x –4 = 0

 ( x-4 ) (x + 1 ) = 0

 x = 4 x = -1

x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f-1(6) = 4

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Fonksiyon Dersleri - Fonksiyon Aritmetiği - Fonksiyon Dersleri Çözümlü Sorular FONKSİYON TANIM: A ve B gibi boş olmayan iki küme için tanımlanan bir bağıntı f olsun f bağıntısı A nın her elemanı B nin yalnız bir elemanına eşliyor ve A da eşlenmeyen eleman kalmıyorsa A dan B ye tanımlanan bu f bağıntısına A dan B ye fonksiyon denir f A B xA yB ve A dan B ye fonksiyonu x’i y’ye eşliyorsa f =A B x f(x)=y şeklinde gösterilir A = Tanım kümesi B= Değer kümesi x’e değişken y’ye (y=f(x)) x’in f fonksiyonuna göre görüntüsü yada f fonksiyonunun x için aldığı değer denir A tanım kümesinin tüm elemanlarının f fonksiyonuna göre görüntülerinin kümesine A nın görüntü kümesi denir Ve f(A) ile gösterilir f(A)B’ dir ÖRNEK: A={-3-1023} F=A R fonksiyonu F{(-35)(-12)(03)(25)(3-4)} olarak veriliyor F(-3)+f(0)+f(3) toplamı nedir? A)0 B)2 C)3 D)4 E)5 ÇÖZÜM: f(-3)= 5 f(-3)+f(0)+f(3)=5+3-4=4 olur f(0)= 3 olduğundan f(3)=-4 Cevap FONKSİYON TÜRLERİ: BİRE BİR FONKSİYON TANIM: A dan B ye bir f fonksiyonu tanımlanmış olsun A kümesinin birbirinden farklı her x1 ve x2 elemanları için; f(x1)f (x2) ise f fonksiyonuna bire bir fonksiyon denir Yani A tanım kümesinin farklı elemanlarının görüntüleri daima farklı ise f fonksiyonu bire bir fonksiyondur Kısacası x1 x2 A için x1  x2  f(x1)  f(x2) ya da f(x)1 = f(x2)  x1 = x2 oluyorsa f fonksiyonu bire bir fonksiyondur A f B f A A B f: A B birebir fonksiyon g: A B birebir fonksiyon y h(x)=y=2x 4 3 2 1 0 1 2 3 x -1 -1 -2 h h:R R h(x)=2x bire bir fonksiyondur ÖRTEN FONKSİYON TANIM: f:A B fonksiyonu verilsin f(A)=B ise f ye örten fonksiyon denir Değer kümesinde eşlenmeyen eleman kalmıyorsa f fonksiyonu örtendir Örten fonksiyonda  y  B için f(x)=y olacak şekilde en az bir xA vardır f:A B fonksiyonun örten olabilmesi için s(A)  s(B) olmalıdır A f B f:A B örten fonksiyon İÇİNE FONKSİYON TANIM: f:A B fonksiyonu için f(A)B ise yani değer kümesinde eşlenmeyen en az bir eleman kalıyorsa f fonksiyonuna içine fonksiyon denir A g B g:A B içine fonksiyon BİRE BİR VE İÇİNE FONKSİYON TANIM: f:A B fonksiyonu hem birebir hem de içine fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve iççine fonksiyon denir A f B f:A B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve f(A)B olduğundan f fonksiyonu birebir ve içine fonksiyondur BİRE BİR VE ÖRTEN FONKSİYON TANIM: f:A B fonksiyonu hem birebir hem de örten fonksiyon ise f fonksiyonuna bire bir ve örten fonksiyon denir A g B g:A B fonksiyonunda farklı elemanların görüntüleri de farklı ve g(A)=B olduğundan g fonksiyonu bire bir ve örten fonksiyondur SABİT FONSİYON TANIM: f:A B fonksiyonu (x)A için f(x)=c oluyorsa f fonksiyonuna sabit fonksiyon denir A f B TERS FONKSİYON A f B Yandaki şemada A dan b ye verilen f fonksiyonunun g={(a1)(b3)(c2)(d4)} olduğunu söyleyebiliriz g fonksiyonu bir bağıntı olduğu için tersi vardır ve g-1 ={(1a)(2c)(3b)(4d)} dir TANIM: f A dan B ye bire bir ve örten fonksiyon ise f-1 bağıntısı da B den A ya bir fonksiyondur f-1 fonksiyonuna f in ters fonksiyonu denir A B dir CEVAPLI SORULAR 1) f A dan B ye bir fonksiyon x x2 fonksiyonunun bire bir midir? CEVAP: f(-2) = (-2)2 = 4 f(2) =22 = 4 olduğundan -2  2  f(-2) = f(2) olur yani verilen fonksiyon bire bir değildir 2) A ={ -1 01 } ve b={ 01 }kümeleri için f A dan B ye bir fonksiyon f(x) = x2 fonksiyonunun örten olmadığını araştırınız CEVAP: f(-1) = 1 f(0) = 0  f(A) = {01} dır f(1) =1 f(A) = B olduğundan f örtendir 3) A = {-1 0123} ve B = {01234510} kümeleri veriliyor f(x) = x2 + 1 fonksiyonu içine bir fonksiyon mudur? ( f; A dan B ye bir fonksiyon) CEVAP: f(-1) = (-1)2 + 1 = 2 f(0) = 02 +1 = 1 f(1) = 12 + 1 = 2 f(2) = 22 + 1 = 5 f(3) = 32 + 1 = 10 f(A) = { 12510}  B olduğundan f içine fonksiyondur 4) f : R [2 +  ] f(x) = x2 + 2 bire bir ve örten midir? x  0 CEVAP: f(0) = 02 +2 = 2 Örtendir -1  1 x1  x2 için f(x1)  f(x2) f(-1) = f(1) f(-1) = (-1)2 + 2 = 3 f(1) = 12 +2 = 3 Birebir değil 5) f : R R f(x) = ( a-2 ) x2 + ( b+3 )x + 7 sabit fonksiyon ise a – b +f(x)=? CEVAP: f(x) = c olduğundan f(x) = ( a - 2 ) x2 + ( b + 3 ) x +7 0 0 a–2 = 0 b+3 = 0 a = 2 b = -3 f(x) = 7 a + b + f(x) = 2+3+7 = 12 6) f :R R f(x) = x3 – 4x +2 olduğuna göre f-1(2) nedir? CEVAP: f-1(2) = x  f(x) = 2  x3 – 4x +2 = 2  x3 – 4x = 0  x( x2 – 4 ) = 0  x = 0 x = 2 x = -2 f-1(2) = { -2 0 2 } bulunur 7) f : R-{-1} R f(x) = x2 – 3x + 2 olduğuna göre f-1(6) nedir? CEVAP: f-1(6) = x  f(x) = 6  x2 –3x + 2 = 6  x2 –3x –4 = 0  ( x-4 ) (x + 1 ) = 0  x = 4 x = -1 x = -1 sayısı tanım kümesinin elemanı olmadığı için f-1(6) = 4