Matematik Türevler - Türev Hakkında Temel Bilgiler - Türevler - Türev Örnekli Anlatım

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

TÜREV:

*

Y’,f’(x),dy/dx m,tg q

*

P noktasına minimum oynama

Verdiğimizi düşünelim

Dx,bizde seçilebilen en büyük

oynama olsun

*

r¹q tg r¹tg q tg r=Dy/Dx

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

*

Lim tg r=tg q

Dx®0

lim (Dy/Dx)=tg q

Dx®0

lim f(x+Dx)-f(x) / Dx=lim Dy/Dx=dy/dx=y’=f(x)

Dx®0 Dx®0

*

*

R,T’ye nekadar yaklaşırsa,açılar da okadar yakın olur ve

Minimumda,yani liitte tan r0tan q olur

Lim Dy=dy

Dx®0

*

*

*

*

*

*

*

Türevin Tanımı:

*

Dy/dx=lim f(x+Dx)-f(x) / Dx

Dx®0

Fonksiyonun,o noktada sadece bir teğeti vardır

*

*

Örnek:

*

Y=x³’ün türevvini türev tanımından bulunuz

*

F(x)=y=x³

F(x+Dx)=(x+Dx)³

Dy / dx =lim (x+Dx)³-x³ / Dx

Dx®0

=lim x³+3x²Dx+3x(Dx)²+(Dx)³-x³

Dx®0

=lim Dx(3x²+3xDx+(Dx)²) / Dx

Dx®0

= 3x²

*

Hatırlatma:

*

*Cos(a-b)=Cos a

Cos b+Sin a

Sin b

*Cos(a+b)=Cos a

Cos b-Sin a

Sin b

*Cos(a-b)+Cos(a+b)=2

Cos a

Cos b

*Cos(a-b)-Cos(a+b)=2

Sin a

Si b

*Sin(a+b)=Sin a

Cos b+Sin b

Cos a

*Sin(a-b)=Sin a

Cos b-Sin b

Cos a

*Sin(a+b)+Sin(a-b)=2

Sin a

Cos b

*Sin(a+b)-Sin(a-b)=2

Sin b

Cos a

*a+b=p a=p+q / 2

*a-b=q b=p-q / 2

*Cos q+Cos p=2Cos p+q / 2

Cos p-q / 2

*Cos q-Cos p=2Sin p+q / 2

Sin p-q / 2

*Sin p+Sin q=2Sin p+q / 2

Cos p+q / 2

*Sin p-Sin q=2Sin p-q / 2

Cos p+q / 2

*

İspat:

*

F(x)=İn x?y’=?

F(x+Dx)=Sin (x+Dx)

Dy / dx=lim Sin(x+Dx)-Sin x / Dx

Dx®0

= lim 2Sin Dx/2

Cos (2x+Dx)/2 / Dx

Dx®0

=lim Sin (Dx/2 / Dx/2)

lim (Cos 2x+Dx / 2)

Dx®0 Dx®0

=Cos x

*

Türevin Temel Özellikleri:

*

1)f(x)=(f1(x)+f2(x)+

+fn(x))

f’(x)=( )’

f’(x)=(f1’(x)+f2’(x)+

+fn’(x))

*

Bir toplamın türevi,ayrı ayır türevlerin toplamıdır

*

2)f(x)=p(x)

r(x)?

f’(x)

r(x)+f(x)

r’(x)

*

3)f(x)=w(x)/q(x)?

f’(x)=(w’(x)

q(x)-w(x)

q’(x)) / (q(x))²

*

Pratik Türev Kuralları:

*

1)y=c y’=0 c®sabit

*

2)y=c

u y’=c

u’ y=y(u)?y’=c u=u(x)

*

3)u=s²+2 u=u(s) w=t²+2t+5 w=w(t) y=x²+4x y=f(x)

*

Serbast değişkenin kendine göre türevi 1’dir

*

y=un y’=n

un-1

u’

*

4)y=k/un y=k

un y’=k

(-n)

u-n-1

u’ y’=-kn

u’ / un+1

*

5)y=nÖum y=um/n y’=m/n

um/n – 1

u’ y’=m/n

um-n/n

u’ y’=m

u’ / n

un-m/n

y’=m

u’ / nnÖun-m

6)y=lnp

uq=(ln uq)p y=(q

ln u)p y=qp

(ln u)p

y’=qp

p(ln u)p-1

1/u

u’

*

7)y=au ln y=u

ln a 1/y’=ln a

u’ y’=au

ln a

u’

*

8)y=uv u=u(x) v=v(x) ln y=v

ln u y’7y=v’

ln(u)+u’/u

v

y’=uv

(v’

ln (u)+u’2/u

v)

*

9)y=tg u y’=(1+tg²u)

u’=1/Cos²u

u’=Sec²u

u’

y=Ctg u y’=-(1+Ctg²u)

u’=-1/Sin²u

u’=Cosec²u

u’

y=k

Sinpuq=k

(Sinuq)p y’=k

p

(Sin uq)p-1

Cos uq

q

uq-1

u’

*

10)y=Arc sin u y’=1/Ö1-u²

u’ y=Arc tg u y’=1/1+u²

u’

Sin(Arc sin x)=x Arc tg(tg x)=x

*

11)y=Sec u=1/Cos u y’=(Sin u/Cos u

Cos u)

u’ y’=Sec u

tg u

u’

*

12)y=Cosec u=1/Sin u y’=-Cosec u

Ctg u

u’

*

*y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara “açık fonksiyon” denir

*f(x,y)00 şeklindeki fonksiyonlara “kapalı fonksiyon” denir

*

y²+xy+exy=0 (kaapalı fonksiyon)

y=2x+1 (açık fonksiyon)

y-2x-1=0 (kapalı tipte yazılabilen açık fonksiyon)

Kapalı fonksiyon Türleri:

*

Örnek:

y²x+3y+exy=0

(2y

y’

x+y²)+3y+exy

ln e

(y+y’

x)=0

2y

y’

x+y²+3y’+y

exy+y’

x

exy=0

Y’(2xy+3+x

exy)=-(y²+y

exy)

Y’=-y²+y

exy / 2xy+3+x

exy

*

Ardışık Türev:

*

Y’=dy/dx y’’=d²y/dx² y’’’=d³y/dx³ y(n)=dny/dxn

*

D/dx (türev operatörü) d/dx

y?dy/dx

dy’/dx=d/dx

(dy/dx) dy’’/dx=d/dx

(d²y/dx²)

*

Örnek:

*

Y=1/x ifadesinin n mertebesinden türevi nedir?

*

Y’=-1/x² y’’=2/x³ y’’’=-2

3/x4 y(4)=2

3

4/x5 y(n)=(-1)n

n!/xn+1

*

*

Kapalı Fonksiyonlarda Ardışık Türev:

*

F(x,y)=0 y’=-f’x/f’y dy’/dx=y’’=d²y/dx²

*

Örnek:

*

Y=Sin(x+y)=0 ? y’’=?

*

y-Sin(x+y)=0

y’=(Cos(x+y)

1) / (1-Cos(x+y)

1)

y’’=(-Sin(x+y)

(1+y’)

(1-Cos(x+y))-Sin(x+y)

(1+y’)

Cos(x+y)) / (1-Cos(x+y))²

*

*

Ters Fonksiyon Türevi:

*

Dy/Dx

Dx/Dy=1 Dy/Dx=1/(Dx/Dy)

*

lim Dy/Dx=lim 1/(Dx/Dy)

Dx®0 Dx®o0

*

dy/dx=1/(dx/dy) f’(x)=1/r’(y)

*

*

*

*

*

Örnek:

*

y²+y+Sin x=0

y’=-f’x/f’y=-Cos x/2y+1

-(y²+y)=Sin x

Arc sin(-y²-y)=x

-2y-1/Ö1-(-y²-y)²=dx/dy

-2y-1/Cos x

0dx

7dy

-Cos x

72y+1=1/(dx/dy)=dy/dx

*

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Matematik Türevler - Türev Hakkında Temel Bilgiler - Türevler - Türev Örnekli Anlatım TÜREV: * Y’,f’(x),dy/dx m,tg q * P noktasına minimum oynama Verdiğimizi düşünelim Dx,bizde seçilebilen en büyük oynama olsun * r¹q tg r¹tg q tg r=Dy/Dx * * * * * * * * * * * Lim tg r=tg q Dx®0 lim (Dy/Dx)=tg q Dx®0 lim f(x+Dx)-f(x) / Dx=lim Dy/Dx=dy/dx=y’=f(x) Dx®0 Dx®0 * * R,T’ye nekadar yaklaşırsa,açılar da okadar yakın olur ve Minimumda,yani liitte tan r0tan q olur Lim Dy=dy Dx®0 * * * * * * * Türevin Tanımı: * Dy/dx=lim f(x+Dx)-f(x) / Dx Dx®0 Fonksiyonun,o noktada sadece bir teğeti vardır * * Örnek: * Y=x³’ün türevvini türev tanımından bulunuz * F(x)=y=x³ F(x+Dx)=(x+Dx)³ Dy / dx =lim (x+Dx)³-x³ / Dx Dx®0 =lim x³+3x²Dx+3x(Dx)²+(Dx)³-x³ Dx®0 =lim Dx(3x²+3xDx+(Dx)²) / Dx Dx®0 = 3x² * Hatırlatma: * Cos(a-b)=Cos aCos b+Sin aSin b Cos(a+b)=Cos aCos b-Sin aSin b Cos(a-b)+Cos(a+b)=2Cos aCos b Cos(a-b)-Cos(a+b)=2Sin aSi b Sin(a+b)=Sin aCos b+Sin bCos a Sin(a-b)=Sin aCos b-Sin bCos a Sin(a+b)+Sin(a-b)=2Sin aCos b Sin(a+b)-Sin(a-b)=2Sin bCos a a+b=p a=p+q / 2 a-b=q b=p-q / 2 Cos q+Cos p=2Cos p+q / 2 Cos p-q / 2 Cos q-Cos p=2Sin p+q / 2 Sin p-q / 2 Sin p+Sin q=2Sin p+q / 2 Cos p+q / 2 Sin p-Sin q=2Sin p-q / 2 Cos p+q / 2 * İspat: * F(x)=İn x?y’=? F(x+Dx)=Sin (x+Dx) Dy / dx=lim Sin(x+Dx)-Sin x / Dx Dx®0 = lim 2Sin Dx/2 Cos (2x+Dx)/2 / Dx Dx®0 =lim Sin (Dx/2 / Dx/2)lim (Cos 2x+Dx / 2) Dx®0 Dx®0 =Cos x * Türevin Temel Özellikleri: * 1)f(x)=(f1(x)+f2(x)++fn(x)) f’(x)=( )’ f’(x)=(f1’(x)+f2’(x)++fn’(x)) * Bir toplamın türevi,ayrı ayır türevlerin toplamıdır * 2)f(x)=p(x)r(x)? f’(x)r(x)+f(x)r’(x) * 3)f(x)=w(x)/q(x)? f’(x)=(w’(x)q(x)-w(x)q’(x)) / (q(x))² * Pratik Türev Kuralları: * 1)y=c y’=0 c®sabit * 2)y=cu y’=cu’ y=y(u)?y’=c u=u(x) * 3)u=s²+2 u=u(s) w=t²+2t+5 w=w(t) y=x²+4x y=f(x) * Serbast değişkenin kendine göre türevi 1’dir * y=un y’=nun-1u’ * 4)y=k/un y=kun y’=k(-n)u-n-1u’ y’=-knu’ / un+1 * 5)y=nÖum y=um/n y’=m/num/n – 1u’ y’=m/num-n/nu’ y’=mu’ / nun-m/n y’=mu’ / nnÖun-m 6)y=lnpuq=(ln uq)p y=(qln u)p y=qp(ln u)p y’=qpp(ln u)p-11/uu’ * 7)y=au ln y=uln a 1/y’=ln au’ y’=auln au’ * 8)y=uv u=u(x) v=v(x) ln y=vln u y’7y=v’ln(u)+u’/u v y’=uv(v’ln (u)+u’2/u v) * 9)y=tg u y’=(1+tg²u)u’=1/Cos²u u’=Sec²uu’ y=Ctg u y’=-(1+Ctg²u)u’=-1/Sin²u u’=Cosec²uu’ y=kSinpuq=k(Sinuq)p y’=kp(Sin uq)p-1Cos uqquq-1u’ * 10)y=Arc sin u y’=1/Ö1-u² u’ y=Arc tg u y’=1/1+u² u’ Sin(Arc sin x)=x Arc tg(tg x)=x * 11)y=Sec u=1/Cos u y’=(Sin u/Cos uCos u)u’ y’=Sec utg uu’ * 12)y=Cosec u=1/Sin u y’=-Cosec uCtg uu’ * y=f(x) şeklindeki fonksiyonlara “açık fonksiyon” denir f(x,y)00 şeklindeki fonksiyonlara “kapalı fonksiyon” denir * y²+xy+exy=0 (kaapalı fonksiyon) y=2x+1 (açık fonksiyon) y-2x-1=0 (kapalı tipte yazılabilen açık fonksiyon) Kapalı fonksiyon Türleri: * Örnek: y²x+3y+exy=0 (2yy’x+y²)+3y+exyln e(y+y’x)=0 2yy’x+y²+3y’+yexy+y’xexy=0 Y’(2xy+3+xexy)=-(y²+yexy) Y’=-y²+yexy / 2xy+3+xexy * Ardışık Türev: * Y’=dy/dx y’’=d²y/dx² y’’’=d³y/dx³ y(n)=dny/dxn * D/dx (türev operatörü) d/dx y?dy/dx dy’/dx=d/dx(dy/dx) dy’’/dx=d/dx(d²y/dx²) * Örnek: * Y=1/x ifadesinin n mertebesinden türevi nedir? * Y’=-1/x² y’’=2/x³ y’’’=-23/x4 y(4)=234/x5 y(n)=(-1)nn!/xn+1 * * Kapalı Fonksiyonlarda Ardışık Türev: * F(x,y)=0 y’=-f’x/f’y dy’/dx=y’’=d²y/dx² * Örnek: * Y=Sin(x+y)=0 ? y’’=? * y-Sin(x+y)=0 y’=(Cos(x+y)1) / (1-Cos(x+y)1) y’’=(-Sin(x+y)(1+y’)(1-Cos(x+y))-Sin(x+y)(1+y’)Cos(x+y)) / (1-Cos(x+y))² * * Ters Fonksiyon Türevi: * Dy/Dx Dx/Dy=1 Dy/Dx=1/(Dx/Dy) * lim Dy/Dx=lim 1/(Dx/Dy) Dx®0 Dx®o0 * dy/dx=1/(dx/dy) f’(x)=1/r’(y) * * * * * Örnek: * y²+y+Sin x=0 y’=-f’x/f’y=-Cos x/2y+1 -(y²+y)=Sin x Arc sin(-y²-y)=x -2y-1/Ö1-(-y²-y)²=dx/dy -2y-1/Cos x 0dx 7dy -Cos x 72y+1=1/(dx/dy)=dy/dx *