Matematikte Bölünebilme - Bölünebilme Örnekli Çözüm Ve Anlatım

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

2 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod2) olmalı

x = an

10n+an-1

10n-1+an-2

10n-2+

+a1

101+a0

10 º 0(mod2) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0 (mod2)

x º 0+0+0+

+a0 º 0 (mod2) olmalı

Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı

O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır

3 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod3) olmalı

x = an

10n+an-1

10n-1+an-2

10n-2+

+a1

101+a0

10 º1 (mod3) olduğuna göre "n∈N için 10n º 1(mod3)

x º an

1+an-1

1+

+a

1+a0 º 0 (mod3) olmalı

Demek ki an+an-1+an-2+

+a1+a0 º 0 (mod3) olmalı

O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır

4 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için

x = an

10n+an-1

10n-1+an-2

10n-2+

+a2

102+a1

101+a0 º0 (mod4) olmalı

101 º 2 (mod4)

102 º 0 (mod4)

103 º 0 (mod4)

104 º 0 (mod4)

O halde

x º an

0+an-1

0+

+a2

0+a1

10+a0 º 0 (mod4)

a1

10+a0 º 0 (mod4) olmalı

O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir

5 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod5) olmalı

x = an

10n+an-1

10n-1+an-2

10n-2+

+a1

101+a0

10 º 0 (mod5) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0(mod5)

x º an

0+an-1

0+

+a1

0+a0 º 0 (mod5) olmalı

a0 º (mod5)

O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır

6 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için

x = an

10n+an-1

10n-1+

+a3

103+a2

102+a1

101+a0 º 0(mod6) olmalı

6 = 2

3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise

x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır

O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır

7 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için

x = an

10n+an-1

10n-1+

+a3

103+a2

102+a1

101+a0 º 0(mod7)

101 º 3 (mod7)

102 º 2 (mod7)

103 º 6 º -1 (mod7)

104 º-3 (mod7)

105 º-2 (mod7)

106 º 1 (mod7)

x =

+a6

(1) + a5

(-2)+a4

(-3) + a3

(-1) + a2

2+a1

3+a0 = 0 (mod7)

+ - +

O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır

8 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için

x º 0(mod8) olmalı

x = an

10n+an-1

10n-1+

+a3

103+a2

102+a1

101+a0 º 0(mod8) olmalı

101 º 2 (mod8)

102 º 4 (mod8)

103 º 0 (mod8) "n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8)

104 º 0 (mod8)

x = an

0+an-1

0+

+ a3

0+a2

102+a1

10+a0 º 0 (mod8) olmalı

a2

102+a1

10+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı

O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır

9 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için

x = an

10n+an-1

10n-1+

+a3

103+a2

102+a1

101+a0 º 0 (mod9) olmalı

10 º 1(mod9) "n∈N için 10n º 1(mod9)

x = an

1+an-1

1+an-2

1+

+a1

1+a0 º 0 (mod9) olur

an+an-1+an-2+

a1+a0 º 0 (mod9) olur

O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır

11 İle Bölünebilme

x = anan-1an-2

a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için

x º 0 (mod11) olmalı

x = an

10n+an-1

10n-1+

+a3

103+a2

102+a1

101+a0

101 º -1 (mod11)

102 =100 º 1 (mod11)

103 º-1 (mod11)

104 º 1 (mod11)

105 º-1 (mod11)

106 º 1 (mod11)

x = an

(1)+an-1

(-1)+an-2

(1)+

+a2

(1)+a1

(-1)+a0

an-an-1+an-2+

+a2-a1+a0 º 0 (mod11)

O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır

21 İle Bölünebilme

21 = 3

7

Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Matematikte Bölünebilme - Bölünebilme Örnekli Çözüm Ve Anlatım 2 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 2 ile tam bölünebilmesi için x º 0 (mod2) olmalı x = an10n+an-110n-1+an-210n-2+ +a1101+a0 10 º 0(mod2) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0 (mod2) x º 0+0+0+ +a0 º 0 (mod2) olmalı Demek ki a0 º 0(mod2) olmalı O halde son basamaktaki sayı çift olmalıdır 3 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 3 ile tam bölünebilmesi için x º 0 (mod3) olmalı x = an10n+an-110n-1+an-210n-2+ +a1101+a0 10 º1 (mod3) olduğuna göre "n∈N için 10n º 1(mod3) x º an1+an-11+ +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı Demek ki an+an-1+an-2+ +a1+a0 º 0 (mod3) olmalı O halde rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır 4 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 4 ile tam bölünebilmesi için x = an10n+an-110n-1+an-210n-2+ +a2102+a1101+a0 º0 (mod4) olmalı 101 º 2 (mod4) 102 º 0 (mod4) 103 º 0 (mod4) 104 º 0 (mod4) O halde x º an0+an-10+ +a20+a110+a0 º 0 (mod4) a110+a0 º 0 (mod4) olmalı O halde sayının son iki basamağındaki sayı 4 ile tam bölünebilmelidir 5 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 5 ile tam bölünebilmesi için x º 0 (mod5) olmalı x = an10n+an-110n-1+an-210n-2+ +a1101+a0 10 º 0 (mod5) olduğuna göre "n∈N için 10n º 0(mod5) x º an0+an-10+ +a10+a0 º 0 (mod5) olmalı a0 º (mod5) O halde son basamaktaki sayı 0 ya da 5 olmalıdır 6 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a1a0 sayısının 6 ile tam bölünebilmesi için x = an10n+an-110n-1+ +a3103+a2102+a1101+a0 º 0(mod6) olmalı 6 = 2 3 olduğuna göre x º 0 (mod6) ise x º 0 (mod2) ve x º 0 (mod3) olmalıdır O halde hem 2 ile hem de 3 ile bölünebilme kuralını birlikte sağlamalıdır 7 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a1a0 sayısının 7 ile tam bölünebilmesi için x = an10n+an-110n-1+ +a3103+a2102+a1101+a0 º 0(mod7) 101 º 3 (mod7) 102 º 2 (mod7) 103 º 6 º -1 (mod7) 104 º-3 (mod7) 105 º-2 (mod7) 106 º 1 (mod7) x = +a6(1) + a5(-2)+a4(-3) + a3(-1) + a22+a13+a0 = 0 (mod7) + - + O halde sayının basamaklarının sağdan sola doğru 3’er 3’er grupladıktan sonra her grup sırasıyla birer birer (+) yada (-) işaretleri koyulduktan sonra sağdan sola doğru her basamaktaki sayıyı sırasıyla işaretleri ve “1”,”3” ve “2” sayılarıyla çarptıktan sonra bulunan toplam sayı 7’nin katı olmalıdır 8 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 8 ile tam bölünebilmesi için x º 0(mod8) olmalı x = an10n+an-110n-1+ +a3103+a2102+a1101+a0 º 0(mod8) olmalı 101 º 2 (mod8) 102 º 4 (mod8) 103 º 0 (mod8) "n∈N+ ve n ³ 3 için 10n º 0 (mod8) 104 º 0 (mod8) x = an0+an-10+ + a30+a2102+a110+a0 º 0 (mod8) olmalı a2102+a110+a0 = a2a1a0 º 0 (mod8) olmalı O halde son 3 basamağındaki sayı 8 in katı olmalıdır 9 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 9 ile tam bölünebilmesi için x = an10n+an-110n-1+ +a3103+a2102+a1101+a0 º 0 (mod9) olmalı 10 º 1(mod9) "n∈N için 10n º 1(mod9) x = an1+an-11+an-21+ +a11+a0 º 0 (mod9) olur an+an-1+an-2+ a1+a0 º 0 (mod9) olur O halde sayının rakamlarının toplamı 9’un katı olmalıdır 11 İle Bölünebilme x = anan-1an-2 a0 sayısının 11 ile tam bölünebilmesi için x º 0 (mod11) olmalı x = an10n+an-110n-1+ +a3103+a2102+a1101+a0 101 º -1 (mod11) 102 =100 º 1 (mod11) 103 º-1 (mod11) 104 º 1 (mod11) 105 º-1 (mod11) 106 º 1 (mod11) x = an(1)+an-1(-1)+an-2(1)+ +a2(1)+a1(-1)+a0 an-an-1+an-2+ +a2-a1+a0 º 0 (mod11) O halde sayının rakamları sağdan sola doğru (+1) ve (-1) ile çarparak toplandığında bulunan sayı 11’in katı olmalıdır 21 İle Bölünebilme 21 = 3 7 Hem 3 hem de 7 ile bölünebilme kurallarını birlikte sağlamalıdır