Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık Konu Anlatımı

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık

Sıralı N liler

Sayma Kuralları

Saymanın Temel İlkesi

Çarpansal Kavramı

Faktöriyel Kuralları

Dönel Sıralama

Tekrarlı Permütasyonlar

Kombinasyon ve Özellikleri

Permütasyon ve Permütasyon Arasındaki Farklar

Binom Açılımı

Olasılık Fonksiyonu

Eş Olumlu Örnek Uzay

Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar

Çarpım Kuralı

KOMBİNASYON

KOMBİNASYON (GRUPLAMA)

olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir

n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı

Kural

n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin;

0 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

1 elemanlı alt kümelerinin sayısı :

2 elemanlı alt kümelerinin sayısı:

n elemanlı alt kümelerinin sayısı:

olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı:

BİNOM AÇILIMI

TANIM

n doğal sayı olmak üzere,

eşitliklerine binom açılımı denir

sayılarına binom kat sayıları denir

ifadelerinin her birine terim denir

ifadesinde kat sayı, xn�1 ile yr terimin çarpanlarıdır

Kural

(x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır

(x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir

(x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak,

(1 + 1)n = 2n bulunur

(x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır

(x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim:

(x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim:

PERMÜTASYON

A

SAYMANIN TEMEL KURALI

1

Toplama Kuralı

Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir

Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun

olmak üzere,

Sonuç

Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir

2

Çarpma Kuralı

2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir

Benzer biçimde

(a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü

(a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü

(a1, a2, a3,

, an) ifadesine sıralı n li denir

A ve B sonlu iki küme olsunKaynakwh: Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık

s(A) = m

s(B) = n

olmak üzere,

s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir

A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur

Sonuç

İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte

m × n

yolla yapılabilir

B

FAKTÖRİYEL

1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir

Sonuç

C

PERMÜTASYON (SIRALAMA)

r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir

n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı :

Sonuç

1

P(n, n) = n!

2

P(n, 1) = n

1

Dairesel (Dönel) Permütasyon

n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir

Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n � 1)! ile bulunur

2

Tekrarlı Permütasyon

n tane nesnenin n1 tanesi 1

çeşitten, n2 tanesi 2

çeşitten,

, nr tanesi de r

çeşitten olsun

n = n1 + n2 +

+ nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı,

OLASILIK

A

OLASILIK TERİMLERİ

1

Deney

Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir

2

Sonuç

Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir

Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılır

Kaynakwh: Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık

3

Örnek Uzay

Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir

Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir

(Örnek uzaya evrensel küme de denir

) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir

4

Olay

Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir

5

İmkansız Olay

E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık Konu Anlatımı Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık Sıralı N liler Sayma Kuralları Saymanın Temel İlkesi Çarpansal Kavramı Faktöriyel Kuralları Dönel Sıralama Tekrarlı Permütasyonlar Kombinasyon ve Özellikleri Permütasyon ve Permütasyon Arasındaki Farklar Binom Açılımı Olasılık Fonksiyonu Eş Olumlu Örnek Uzay Koşullu Olasılık ve Bağımsız Olaylar Çarpım Kuralı KOMBİNASYON KOMBİNASYON (GRUPLAMA) olmak koşuluyla, n elemanlı bir A kümesinin r elemanlı alt kümelerinin her birine, A kümesinin r li kombinasyonu denir n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı, K(n, r), Crn ya da ile gösterilir n elemanlı kümenin r li kombinasyonlarının sayısı Kural n Î N olmak üzere, n elemanlı sonlu bir kümenin; 0 elemanlı alt kümelerinin sayısı : 1 elemanlı alt kümelerinin sayısı : 2 elemanlı alt kümelerinin sayısı: n elemanlı alt kümelerinin sayısı: olduğundan tüm alt kümelerinin sayısı: BİNOM AÇILIMI TANIM n doğal sayı olmak üzere, eşitliklerine binom açılımı denir sayılarına binom kat sayıları denir ifadelerinin her birine terim denir ifadesinde kat sayı, xn�1 ile yr terimin çarpanlarıdır Kural (x + y)n açılımında n + 1 tane terim vardır (x + y)n açılımında her terimdeki x ve y çarpanlarının üslerinin toplamı n sayısına eşittir (x + y)n ifadesinin kat sayılarının toplamı x ile y yerine 1 yazılarak, (1 + 1)n = 2n bulunur (x + y)n ifadesinin açılımındaki sabit terimi bulmak için x ile y yerine 0 yazılır (x + y)n ifadesinin açılımı x in azalan kuvvetlerine göre dizildiğinde baştan r + 1 inci terim: (x + y)2n nin açılımındaki ortanca terim: PERMÜTASYON A SAYMANIN TEMEL KURALI 1 Toplama Kuralı Sonlu ve ayrık kümelerin eleman sayılarının toplamı, bu kümelerin birleşimlerinin elemanlarının sayısına eşittir Sonlu ve ayrık iki küme A ve B olsun olmak üzere, Sonuç Ayrık iki işlemden biri m yolla diğeri n yolla yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri veya diğeri m + n yolla yapılabilir 2 Çarpma Kuralı 2 tane elemandan oluşan (a1, a2) ifadesine sıralı ikili denir Benzer biçimde (a1, a2, a3) ifadesine sıralı üçlü (a1, a2, a3, a4) ifadesine sıralı dörtlü (a1, a2, a3, , an) ifadesine sıralı n li denir A ve B sonlu iki küme olsunKaynakwh: Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık s(A) = m s(B) = n olmak üzere, s(A × B) = s(A) × s(B) = m × n dir A × B kümesi birinci bileşenleri A dan ikinci bileşenleri B den alınan sıralı ikililerden oluşur Sonuç İki işlemden birincisi m yolla yapılabiliyorsa ve ilk işlem bu m yoldan birisiyle yapıldıktan sonra ikinci işlem n yolla yapılabiliyorsa bu iki işlem birlikte m × n yolla yapılabilir B FAKTÖRİYEL 1 den n ye kadar olan sayma sayılarının çarpımına n faktöriyel denir ve n! biçiminde gösterilir Sonuç C PERMÜTASYON (SIRALAMA) r ve n sayma sayısı ve r £ n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin r elemanlı sıralı r lilerine bu kümenin r li permütasyonları denir n elemanlı kümenin r li permütasyonlarının sayısı : Sonuç 1 P(n, n) = n! 2 P(n, 1) = n 1 Dairesel (Dönel) Permütasyon n tane farklı elemanın dönel (dairesel) sıralamasına, n elemanın dönel (dairesel) sıralaması denir Elemanlardan biri sabit tutularak n elemanın dönel (dairesel) sıralamalarının sayısı (n � 1)! ile bulunur 2 Tekrarlı Permütasyon n tane nesnenin n1 tanesi 1 çeşitten, n2 tanesi 2 çeşitten, , nr tanesi de r çeşitten olsun n = n1 + n2 + + nr olmak üzere bu n tane nesnenin n li permütasyonlarının sayısı, OLASILIK A OLASILIK TERİMLERİ 1 Deney Bir madeni para atıldığında yazı mı ya da tura mı geleceğini, bir zar atıldığında sonucun ne olacağını, tespit etme işlemidir 2 Sonuç Bir deneyin her bir görüntüsüne (çıktısına) verilen isimdir Her bir sonuç bir örnek nokta olarak da adlandırılırKaynakwh: Permütasyon Kombinezon Binom Açılımı Olasılık 3 Örnek Uzay Bir deneyin bütün sonuçlarını eleman kabul eden kümedir Diğer bir ifadeyle örnek noktaların tamamını eleman kabul eden kümedir (Örnek uzaya evrensel küme de denir) Örnek uzay genellikle E ile gösterilir 4 Olay Bir örnek uzayın her bir alt kümesine verilen isimdir 5 İmkansız Olay E örnek uzayı için boş kümeye imkansız (olanaksız) olay denir