|
Prof. Dr. Sinsi
|
Polinomlar Hakkında Detaylı Konu Soru Cevap Örnek Çözümler
P O L İ N O M
Polinomlarla İlgili Temel Kavramlar:
a0, a1, a2,  an-1, an R ve n N olmak üzere, P(x) = an xn + an-1 xn-1 + + a1 x + a0 şeklindeki ifadelere x değişkenine bağlı, reel katsayılı n’inci dereceden bir polinom denirKaynakwh: **polinomlar**
1 an xn, an-1 xn-1, , ak xk, , ayx, a0 ifadelerinin her birine P(x) polinomunun terimleri denir
2 an, an-1, , ak, , ay, a0 reel sayılarına, polinomun terimlerinin katsayıları denir
3 P(x) polinomunda anxn terimindeki en büyük n sayısına polinomun derecesi denir ve [P(x)]=n şeklinde gösterilir
4 Derecesi en büyük olan anxn terimindeki an reel sayısına polinomun katsayısı, a0 sabitine ise polinomun sabit terimi denir
5 P(x) polinomu, terimlerin azalan derecelerine göre,
P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 şeklinde veya P(x) polinomu terimlerin artan derecelerine göre,
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + + an-1xn-1 + anxn biçiminde sıralanır
6 Katsayıları reel sayılardan oluşan polinoma “Reel Katsayılı Polinom” denir ve reel katsayılı polinomlar kümesi R[x] ile gösterilir
Örnek:
P(x) = 2x5-3/n +xn-2 + 4 ifadesinin bir polinom olması için n N kaç olmalıdır?
Çözüm:
5-3/n ifadesinin bir doğal sayı olması gerekir bunun için n yerine verilecek sayının 3’ün bölenleri olmalıdır
3’ün bölenleri ise n = 1, n = 3, n = -1, n = -3 Ayrıca n-2 0 den n 2 olması gerekir O halde bu iki şartı da gerçekleyen n = 3 sayısıdır Buna göre, P(x) polinomu
P(x) = 2x5-3/3 + x3-2 + 4
P(x) = 2x4 + x + 4 dür
ÇOK DEĞİŞKENLİ POLİNOM
P(x, y) = x3y2 – 2x4 y3 + xy + x – y + 1 şeklindeki polinomlara x ve y değişkenlerine bağlı reel katsayılı bir polinom denir
Bu polinomların derecesi x ve y’nin dereceler toplamının en büyüğüdür
der P(x, y) = der P(x) + der P(y) dir
Yukarıdaki iki değişkenli polinomun derecesi ikinci terimdeki x ve y’nin dereceler toplamıdır
Der P(x, y) = 4 + 3 = 7 dir
Örnek
P(x, y) = 2x2y4 – 3x3y5 + x2y3-y5 + 1 polinomunun derecesi kaçtır?
Çözüm:
2x2y4 teriminin derecesi 2 + 4 = 6
-3x3y5 teriminin derecesi 3 + 5 =8
x2y3 teriminin derecesi 2 + 3 = 5
-y5 teriminin derecesi 5
Yukarıda belirtilen en büyük dereceli terimin derecesi P(x, y) polinomunun derecesidir O halde, der P(x, y) = 8 dir
Örnek
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2 ise
P(2)= ?, P(0) = ?, P(1) = ?
Çözüm:
P(2) = 23 – 322 + 42 – 2
= 8 – 12 + 8 – 2 = 2 bulunur
P(0) = 03 – 302 + 40 – 2 = - 2 bulunur
P(1) = 13 – 312 + 41 – 2
= 1 – 3 + 4 – 2 = 0 bulunur
SIFIR POLİNOMU
P(X) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 polinomunda,
an = an-1 = = a1 = a0 = 0 ise; P(x) = 0xn + 0xn-1 + + 0x2 + 0x + 0 polinomuna, sıfır polinomu denir
Sıfır polinomu, 0 ile gösterilir Sıfır polinomunun derecesi belirsizdir
Örnek
P(x) = (m + 3)x2 + (n – 5) x + 1 polinomunun sıfır polinomu olması için; m, n ve t reel sayılarını belirtelim
Çözüm
P(x) polinomunun sıfır polinomu olması için;
m + 3 = 0, n – 5 = 0, t = 0 ;
m = -3, n = 5, t = 0 olmalıdır
SABİT POLİNOM
P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda, an = an-1 = = a1 = 0 ve a0 0 ise; P(x) polinomuna, sabit polinom denir
0xn + 0xn-1 + + 0x + a0 sabit polinomu, a0 ile gösterilir
x0 = 1 olduğundan; a0 sabit polinomu, a0x0 biçiminde yazılabilir Buna göre, sabit polinomun derecesi 0 dır
Örnek P(x) = (a – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a ve b sayılarını belirtelim
Çözüm
P(x) = A – 4)x2 + bx + 7 polinomunun sabit polinom olması için, a – 4 = 0 ve b = 0 olmalıdır Buna göre, a = 4 ve b = 0 dır
İKİ POLİNOM EŞİTLİĞİ
Dereceleri aynı ve aynı dereceli terimlerinin kat sayıları eşit olan iki polinoma, eşit polinomlar denir
n dereceden,
A(x) = anxn + an-1xn-1 + + a2x2 + a1x + a0 ve
B(x) = bnxn + bn-1xn-1 + + b2x2 + b1x + b0 polinomları için;
A(x) = B(x) an = bn, an-1 = bn-1, , a2 = b2, a1, a0 = b0 dır
Örnek
A(x) = 5x3 + (a + 1x2 + d,
B(x) = (b - 1)x3 – 3x2 – (2c – 3) x + polinomları veriliyor A(x) = B(x) olması için; a, b, c ve d yi bulalım
Çözüm
A(x) = 5x3 + (a + 1)x2 + d = 5x3 + (a + 1)x2 + 0x + d,
B(x) = (b – 1)x3 - 3x2 – (2c – 3)x + olduğundan;
A(x) = B(x) 5 = b – 1, a + 1 = -3, 0 = -(2c – 3), d =
b = 6, a = -4, c = , d = dir
POLİNOM FONKSİYONLARI
P : R R
x P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 fonksiyonuna polinom fonksiyonu denir
P : R R
x P(x) = 5x3 + 2x2 – 3x + 1 ifadesi polinom fonksiyonudur
Örnek
P(x) = x2 + 2x + 1 polinomu için P(X-1) polinomunu bulunuz
Çözüm
P(x-1)’i bulmak için P(x)’de x yerine x-1’i yazalım
P(x-1) = (x-1)2 + 2(x-1) + 1
= x2 – 2x + 1 + 2x – 2 + 1 = x2
P(x-1) = x2 olarak bulunur
II: Yol:
Önce P(x) = x2 + 2x + 1 = (x+1)2 olarak yazıp x yerine x-1’i yazalım
P(x-1) = (x-1+1)2 = x2 bulunur
Örnek
P(x) polinomu için,
P(x+2) = x3 – 2x2 + 4 eşitliği veriliyor Buna göre P(x) polinomunu bulunuz
Çözüm
P(x+2) = x3 - 2x2 + 4 eşitliğinde
H = x + 2 h –2 = x’i yerine yazalım
P(h – 2 + 2) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(h) = (h – 2)3 – 2(h – 2)2 + 4
P(x) = (x – 2)3 – 2(x – 2)2 + 4 bulunur
POLİNOM KATSAYILAR TOPLAMI
P(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 polinomunda x = 1 yerine yazılırsa
P(1) = an + an-1 + + a1 + a0 katsayılar toplamı bulunur
P(x) polinomunda x = 0 yerine yazılırsa sabit terimi bulunur
Örnek
P(x) = 2x4 + 5x3 – 3x2 + x – 1 polinomunun katsayıları toplamını bulunuz
Çözüm
P(x) de x = 1 ‘i yerine yazalım
P(1) = 214 + 513 – 312 + 1-1
= 2 + 5 – 3 + 1 – 1 = 4 bulunur
POLINOMLARDA İŞLEMLER
Polinomlarda Toplama İşlemi
A(x) = a4x4 + a3x3 + a2x2 + a1x + a0
B(x) = b3x3 + b2x2 + b1x + b0
Polinomları verilsin, bu iki polinomu toplarken aynı dereceli terimler kendi arasında toplanarak iki polinomun toplamı elde edilir
A(x) + B(x) = a4 x4 + ( a3 + b3 ) x3 + ( a2 + b2 ) x2 + ( a1 + b1 ) x + a0 + b0
Örnek
P(x) = x3 + 2x2 – 3x + 1, Q(x) = 3x2 + 3 x + 4 polinomlarının toplamı olan polinomu bulunuzKaynakwh: **polinomlar**
Çözüm
P(x) + Q(x) = x3 + (2+3) x2 + (-3) + 3) x + 1 + 4
= x3 + 5x2 + (3-3) x + 5 dir
Buna göre iki polinomun toplamı yine bir başka polinom olduğundan polinomlar toplama işlemine göre kapalıdır
1 Polinomlar kümesi, toplama işlemine göre kapalıdır
2 Polinomlar kümesinde toplama işleminin değişme özelliği vardır
3 Polinomlar kümesinde toplama işleminin birleşme özelliği vardır
4 Sıfır polinomu, polinomlar kümesinde toplama işlemine göre birim elemanıdır
5 Her polinomun, toplama işlemine göre tersi vardır
İki Polinomun Farkı
P(x) ve Q(x) polinomları için, P(x) – Q(x) = P(x) + (-Q(x)) tir
P(x) – Q(x) polinomuna, P(x) polinomu ile Q(x) polinomunun farkı denir
Örnek
A(x) = 5x4 + x3 – 3x2 + x + 2 ve
B(x) = - 5x4 + x3 + 2x2 + polinomları için, A(x) – B(x) farkını bulalım
Çözüm
B(x) = -5x4 + x3 + 2x2 + ise, -B(x) = 5x4 - x3 – 2x2 - dir
A(x) – B(x) = A(x) + (-B(x))
= (5x4 + x3 – 3x2 + x + 2) + (5x4 - x3 –2x2 - )
= (5 + 5)x4 + ( - )x3 + (-3 –2)x2 + x + (2 - )
= 10x4 – x3 – 5x2 + x - olur
Bu örnekte görüldüğü gibi, iki polinomun farkı da bir polinomdur
Her A(x) ve B(x) polinomları için, A(x) – B(x) ifadesi de polinom olduğundan; polinomlar kümesi, çıkarma işlemine göre kapalıdır
Polinomlarda Çarpma İşlemi
A(x) ve b(x) gibi iki polinomun çarpımı, A(x) ‘in her terimi B(x)’in her terimi ile ayrı ayrı çarpılarak bulunur
anxn ile bkxk teriminin çarpımı
anxn bkxk = (an bk) xn+k dir
Yani (5x3) (-2x4) = 5 (-2) x3+4 = -10x7
Bu çarpmaya göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz
Der [A(x) B(x) ] = der (A(x)) + der (B(x))
Örnek
A(x) = 3x4 + 1, B(x) = x2 + x
C(x) = x2 – x + 1 polinomları veriliyor
a) A(x) B(x)
b) B(x) C(x) çarpımlarını bulunuz
Çözüm
a) A(x) B(x) = (3x4 + 1) (x2 + x)
= 3x4 x2 + 3x4 x + x2 + x
= 3x6 + 3x5 + x2 + x
b) B(x) C(x) = (x2 + x) (x2 – x + 1)
= x2 x2 – x2 x + x2 1 + x x2 – x x + x 1
= x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x + 1
= x4 + x + 1 bulunur
Polinomlarda çarpma işleminin aşağıdaki özellikleri vardır
1 Kapalılık (iki polinomun çarpımı yine bir polinomdur
2 Değişme özelliği vardır
3 Birleşme özelliği vardır
4 Çarpma işleminin birim (etkisiz) elemanı P(x) = 1 sabit polinomudur
5 Polinomlar kümesinde çarpma işlemine göre bazı polinomların tersi yoktur
Yani P(x) = x2 polinomunun tersi 1/x2 ifadesi polinom değildir
6 Polinomlar kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır
A(x) (B(x) + C(x)) = A(x) B(x) + A(x) C(x)
Polinomlar Halkası
Toplama ve çarpma işleminin özelliklerinden görüldüğü gibi R[x] polinomlar kümesi;
1 (R[x],+) sistemi değişmeli gruptur
2 R[x] kümesi çarpma işlemine göre kapalı ve çarpma işleminin birleşme özelliği vardır
3 R[x] kümesinde çarpma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği vardır
O halde (R[x], + , ) sistemi bir halkadır Buna polinomlar halkası denir
Polinomlarda Bölme İşlemi
A(x) polinomunun B(x) polinomuna bölümü
A(x) B(x)
T(x)
-___________
R(x)
Burada A(x) = B(x) T(x) + R(x) şeklinde yazılır
Bu bölme işlemi yapışırken aşağıdaki hususlara dikkat edilmelidir
1 Polinomlar azalan kuvvetlerine göre sıralanmalıdır
2 Bölünen polinomun derecesi bölen polinomun derecesinden büyük olmalıdır
DerB(x) < derA(x)
3 Kalanın derecesi bölenin derecesinden küçük olmalıdır
Der R(x) < der B(x)
4 R(x) = 0 ise A(x) polinomu B(x) polinomuna tam bölünüyor denir
5 der A(x) = der B(x) + der T(x)
der = der A(x) – der B(x) dir
Örnek
P(x) = x4-2x2 + x 5 polinomunu
Q(x) = x2 + 3x – 1 polinomuna bölelim
x4 – 2x2 + x + 5 x2 + 3x – 1
_____________ = x2
x2- 3x + 8
± x4 ± 3x3 ± x2 = -3x
-__________________
-3x3 – x2 + x + 5 = 8
±3x3 ± 9x2 ±3x
-_________________
8x2 – 2x + 5
± 8x2 ± 24x ±8
-_________________
- 26x + 13
Bölüm : x2 – 3x + 8
Kalan : -26x + 13
Horner Metodu
Bölen, birinci dereceden ya da birinci dereceden polinomların çarpımından oluşuyorsa bu metot uygulanabilir
Örnek
Px3 + qx2 + nx + s polinomunu (x – a) ‘ ya bölelim
Çözüm
1 Bölünen polinomun katsayıları x’in azalan kuvvetlerine göre sıralanır
2 Bölümün derecesi bölünenin derecesinden küçük olacağı için bölümde x3’ün katsayısı 0 olur
3 p katsayısı aşağıya aynen yazılır
4 a, p ile çarpılır, q’nun altına yazılarak toplanır Ap + q olarak yazılır
Bu işleme, kalan bulunana kadar devam edilir
px3 + qx2 + rx + s, x – a = 0 ise x = a
Örnek
P(x) = x4 – x3 + 3x + 4 polinomunun x – 2’ye bölündüğünde bölüm ve kalanı horner metodu yardımıyla bulunuz
Çözüm
P(x)’in katsayılarını belirleyip tabloda gösterelim Ayrıca x –2 = 0 x = 2 ‘yi yerine yazalım
Bölümün Katsayıları Kalan
-1 0 3 4
2 1 2 2 4 14
1 1 2 7 18
Bölümün Katsayıları Kalan
Bölüm B(x) = x3 + x2 + 2x + 7
Kalan R(x) = 18 bulunur
Bölme İşlemi Yapmadan Kalan Bulma
Bir P(x) Polinomunun x – a ile Bölünmesinde Elde Edilen Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilecek bölüm Q(x) ve kalan k olsun (x – a) birinci dereceden olduğundan, kalan sabit bir sayıdır P(x) = (x – a) Q (x) + k eşitliği her x için geçerlidir Burada, x yerine a yazarsak P(a) = 0Q(a) + k P(a) = k bulunur
Bir P(x) polinomunun (x – a) ile bölünmesinden elde edilen kalan P(x) ya eşittir O halde, bir polinomun (x – a) ile bölünmesinden kalanı bulmak için (x – a = 0 x = a olur) polinomda x yerine a değeri yazılır
Örnek
P(x) = x2 – 3x + 21 polinomunun (x – 2) ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulunuz
Çözüm
X – 2 = 0 x = 2 dir Bulacağımız kalan P(2) olacaktır Öyleyse, P(2) = 22 – 3 2 + 21 = 19 olur
Bir P(x) Polinomunun ax + b ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
Bölen birinci dereceden olduğundan kalan yine sabit olur Bölen olarak (ax + b) polinomunu alalım Bu durumda P(x) = (ax + b) Q (x) + k yazılır
Ax + b = 0 x = olur Polinomda x yerine yazılırsa P( ) = k bulunur O halde, bir P(x) polinomunun (ax + b) ile bölünmesinden kalanı bulmak için polinomda x yerine yazılır
Örnek
P(x) = x3 – 4x + 1 polinomunun 2x – 1 ile bölünmesinden kalanı bulunuz
Çözüm
P ( ) = - 4 + 1 = - 2 + 1 = olur
Bir P(x) Polinomunun x2 + a, x3 + a, x4 + a ile Bölünmesinden Elde Edilen Kalan
P(x) polinomunun x2 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x2 yerine –a yazılır
P(x) polinomunun x3 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x3 yerine –a yazılır
P(x) polinomunun x4 + a ile bölünmesinden elde edilen kalanı bulmak için polinomda x4 yerine –a yazılır
Örnek
P(x) = x4 – x3 + x2 + 7x –1 polinomunun, x2 + 2 ile bölünmesinden kalanı bulunuz
Çözüm
İstenen kalanı bulmak için (x2 + 2 = 0 x2 = -2) polinomda x2 yerine –2 yazarız
P(x) = x2 x2 – x2 x + x2 + 7x – 1 olur
Kalan : (-2) ( -2) – (-2) x – 2 + 7x – 1 = 4 + 2x + 7x – 3 = 9x + 1 bulunur
Bir Polinomun (x – a) (x – b) ile Bölünmesinden Elde Edilen Bölüm ve Kalan
Bir P(x) polinomunun (x – a) (x – b) ile bölünmesini Horner yöntemi ile yapabiliriz Verilen P(x) polinomu önce (x – a) ile bölünür, sonra elde edilen bölüm (x – b) ile bölünür
Örnek
Bir P(x) polinomunun (x + 3) (x – 2) ile bölünmesinden kalanı bulunuz
Çözüm
(x + 3) (x – 2) polinomu 2 dereceden olduğuna göre, kalan polinom en fazla 1 derecedendir Kalan polinom K(x) = ax + b biçimindedir Bölüm özdeşliği yazılırsa,
P(x) = (x + 3) (x – 2) B(x) + ax + b biçiminde olur
P(-3) = -5 ve P(2) = 4 olduğu veriliyor
P(-3) = (-3 + 3) (-3 –2) B (-3) –3a +b P(-3) = -3a + b
P(2) = (2 + 3) (2 – 2) B(2) + ‘a +b P(2) = 2a +b olur
-3a + b = -5
2a + b = 4
denklem sistemi çözülürse, a = ve b = olur Buradan, K(x) = x + bulunur
Örnek
Bir P(x) polinomunun x2 + 2 ile bölünmesinden kalan –2x + 6 ve P(x) polinomunun kat sayıları toplamı 7 ise bu P(x) polinomunun (x2 + 2) (x – 1) ile bölünmesinden kalanı bulunuz
Çözüm
Bir P(x) polinomunun kat sayıları toplamını bulmak için polinomda x yerine 1 yazılır P(1) verilen polinomun kat sayıları toplamıdır Burada, P(1) = 7 veriliyor Diğer taraftan kalan, en fazla 2 dereceden ax2 + bx + c biçiminde olur Bölmenin özdeşliği yazılırsa;
P(x) = (x2 + 2) (x – 1) b(x) + ax2 + bx + c olur Polinomda,
x = 1 için P(19 = (1 + 2) (1 – 1) B(1) + a + b + c = a + b + c = 7 ve
x2 = -2 yazılırsa, -2a + bx + c = - 2x + 6 olur
bx + c – 2a = -2x + 6 b = -2 ve c-2a = 6 olur Ayrıca, b = -2 ise a + b + c = 7 den
a – 2 + c = 7 a + c = 9 dur
c - 2a = 6
a + c = 9
Sistemi çözülürse, a = 1, c = 8 bulunur Oyleyse, K(x) = x2 – 2x + 8 olur
KULLANDIĞIM KAYNAKLAR
1) MEB YAYINLARI MATEMATİK LİSE 1 DERS KİTABI
2) ZAFER DERSANESİ YAYINLARI KİTABI
3) GÜVEN-DER YAYINLARI ÖSS KİTABI
4) BAŞARI YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
5) AYDIN YAYINLARI LİSE 1 MATEMATİK DERS KİTABI
6) OKUL MATEMATİK DEFTERİ
|