Pascal Üçgeni Ve Pascal Üçgeninin Özellikleri

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

Pascal üçgeni hakkında bilgi
Pascal üçgeni nedir

Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren ?PASCAL? üçgenini oluşturalım

Kümenin Eleman Sayısı:

s(A)=

0

1
s(A)=

1 1

1
s(A)=

2

1

2

1
s(A)=

3 1

3

1
s(A)=

41

4

6

4

1
s(A)=

51

5

1010

51

Üçgenin tepesinde 1 yazdık

Sonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldık

Bir satırda ardışık iki sayının toplamını bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdık

Bu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik

Örneğin; s(A)=4

1

4

6

4

1
s(A)=5

1

5

10

5

1
Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim

A={abc** kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım

0 elemanlı alt kümesi{** 1 tane
1 elemanlı alt kümeleri{a**{b**{c** 3 tane
2 elemanlı alt kümeleri{ab**{ac**{bc**3 tane
3 elemanlı alt kümeleri{abc** 1 tane

s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüz

O halde bu tablo bir kümenin 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlıalt kümelerinin sayısını gösterir

Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim

*6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır

(s(A)=6?nın
satırındaki üçüncü sayı)
*5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım:
3 elemanlı10(s(A)=5?in satırında 4

sayı)
4 elemanlı5(s(A)=5?in satırında 5

sayı)
*7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım:
1

YOL: (21+35+21+7+1)=120
2

YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?)

Binom Açılımı:
(a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olur

a?nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak b?nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır

(a+b)5=?

Katsayılar 1 5 10 10 5 1
A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1
B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6

(a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5

*(5x-3y)2=?

Katsayılar 1 2 1
5x?in kuvvetleri 25x2 5x 1
-3y?nin kuvvetleri 1 -3y 9y2
(5x-3y)2= 25x2 -2

5x

3y +9y2= 25x2 ?30xy +9y2

Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	Pascal Üçgeni Ve Pascal Üçgeninin Özellikleri Pascal üçgeni hakkında bilgi Pascal üçgeni nedir Bir kümenin alt kümelerinin sayısını gösteren ?PASCAL? üçgenini oluşturalım Kümenin Eleman Sayısı: s(A)=0 1 s(A)=1 11 s(A)=2 121 s(A)=3 1331 s(A)=41 4641 s(A)=51 5101051 Üçgenin tepesinde 1 yazdıkSonraki satırların ilk ve son sayılarını yine 1 aldıkBir satırda ardışık iki sayının toplamını bu sayıların ortasına gelecek şekilde bir alt satıra yazdıkBu işlemlere yukardan aşağı doğru devam ettik Örneğin; s(A)=4 14641 s(A)=515101051 Bu tablodaki sayıların ne ifade ettiğini gösterelim A={abc kümesi 3 elemanlı olup bu kümenin alt kümelerini yazalım 0 elemanlı alt kümesi{ 1 tane 1 elemanlı alt kümeleri{a{b{c 3 tane 2 elemanlı alt kümeleri{ab{ac{bc3 tane 3 elemanlı alt kümeleri{abc** 1 tane s(A)=3 olan satırdaki sayılar olduğunu görünüzO halde bu tablo bir kümenin 0 elemanlı 1 elemanlı 2 elemanlıalt kümelerinin sayısını gösterir Pascal Üçgenini biraz daha büyüterek aşağıdaki örnekleri inceleyelim 6 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı 15 tane alt kümesi vardır(s(A)=6?nın satırındaki üçüncü sayı) 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı en az 3 elemanlı kaç tane alt kümesi olduğunu araştıralım: 3 elemanlı10(s(A)=5?in satırında 4 sayı) 4 elemanlı5(s(A)=5?in satırında 5 sayı) 7 elemanlı bir kümenin en az 2 elemanlı kaç alt kümesi olduğunu araştıralım: 1YOL: (21+35+21+7+1)=120 2YOL: 2 7-(1+7)=128-8=120 (Neden?) Binom Açılımı: (a+b)n nin açılımında Pascal Üçgenindeki sayılar terimdeki katsayıları olura?nın kuvvetleri n den 0 a kadar azalarak b?nin kuvvetleri 0 dan n ye kadar artarak yazılır (a+b)5=? Katsayılar 1 5 10 10 5 1 A nın kuvvetleri a5 a4 a3 a2 a 1 B nin kuvvetleri 1 b b2 b3 b4 b6 (a+b)5=1a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b5 (5x-3y)2=? Katsayılar 1 2 1 5x?in kuvvetleri 25x2 5x 1 -3y?nin kuvvetleri 1 -3y 9y2 (5x-3y)2= 25x2 -25x3y +9y2= 25x2 ?30xy +9y2 Yukarda ki örnekten de görülebileceği gibi negatif terimin tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin işareti negatiftir