3. Dereceden Denklemler (Üçüncü Dereceden Denklemler) Nedir?

**Prof. Dr. Sinsi** · 12-19-2012

A Tanım
ax³+bx²+cx+d=0

biçimindeki denklemler, 3

dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir

Genelde, çözümünde bu denklemlerin kullanıldığı soruları hazırlayanlar, bu denklemlerin kolay çözülebilmesi için köklerinden birini 1,-1 , 2, -2 gibi kolay bulunabilecek bir sayı olarak ayarlarlar

Eğer böyle bir sayı bulunamıyorsa, mevcut bilgilerle bu denklemin çözümü olanaksızdır

Bulunan kök a olsun

Denklem x-a'ya polinom bölmesi ile bölünür ve bölümde oluşan ikinci derece denklemin kökleri de bulunarak, çözüm kümesi tamamlanır

B

Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile kat sayıları arasındaki bağıntılar
ax³+bx²+cx+d=0

şeklindeki denklemin kökleri
x1, x2 ve x3

olsun

Buna göre,
1) Kökler toplamı: x1+x2+x3= −b/a
2) Kökler çarpımı: x1

x2

x3= −d/a
3) Köklerin ikişer ikişer çarpımı: x1

x2+x1

x3+x2

x3= c/a

ikinkesir11

gif
ikinkesir12

gif
ikinkesir13

gif

C

Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemlerin yazılması
Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem
(x ? x1) (x ? x2) (x ? x3) = 0'dır

Bu denklem düzenlenirse,
x3 ? (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x ? x1x2x3 = 0

olur

? ax³+bx²+cx+d denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun

1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa,
x1 + x3 = 2x2'dir

2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa,
ikinkesir14

gif

3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa,
x1 = x2 = x3'tür

? n, 1'den büyük pozitif tam sayı olmak üzere,
anxn + an ? 1xn ? 1 +

+ a1x + a0 = 0

denkleminin;

Kökleri toplamı= ikinkesir15

gif

Kökleri çarpımı= ikinkesir16

gif

12-19-2012	#1
Prof. Dr. Sinsi	3. Dereceden Denklemler (Üçüncü Dereceden Denklemler) Nedir? A Tanım ax³+bx²+cx+d=0 biçimindeki denklemler, 3 dereceden bir bilinmeyenli denklemlerdir Genelde, çözümünde bu denklemlerin kullanıldığı soruları hazırlayanlar, bu denklemlerin kolay çözülebilmesi için köklerinden birini 1,-1 , 2, -2 gibi kolay bulunabilecek bir sayı olarak ayarlarlar Eğer böyle bir sayı bulunamıyorsa, mevcut bilgilerle bu denklemin çözümü olanaksızdır Bulunan kök a olsun Denklem x-a'ya polinom bölmesi ile bölünür ve bölümde oluşan ikinci derece denklemin kökleri de bulunarak, çözüm kümesi tamamlanır B Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile kat sayıları arasındaki bağıntılar ax³+bx²+cx+d=0 şeklindeki denklemin kökleri x1, x2 ve x3 olsun Buna göre, 1) Kökler toplamı: x1+x2+x3= −b/a 2) Kökler çarpımı: x1x2x3= −d/a 3) Köklerin ikişer ikişer çarpımı: x1x2+x1x3+x2x3= c/a ikinkesir11gif ikinkesir12gif ikinkesir13gif C Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemlerin yazılması Kökleri x1, x2 ve x3 olan üçüncü derece denklem (x ? x1) (x ? x2) (x ? x3) = 0'dır Bu denklem düzenlenirse, x3 ? (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x ? x1x2x3 = 0 olur ? ax³+bx²+cx+d denkleminin kökleri x1, x2, x3 olsun 1) Bu kökler aritmetik dizi oluşturuyorsa, x1 + x3 = 2x2'dir 2) Bu kökler geometrik dizi oluşturuyorsa, ikinkesir14gif 3) Bu kökler hem aritmetik hem de geometrik dizi oluşturuyorsa, x1 = x2 = x3'tür ? n, 1'den büyük pozitif tam sayı olmak üzere, anxn + an ? 1xn ? 1 + + a1x + a0 = 0 denkleminin; Kökleri toplamı= ikinkesir15gif Kökleri çarpımı= ikinkesir16gif